三個兩兩垂直而且兩兩相切的圓柱面的最小公共切球面的半徑

問題來源

2016年江蘇省高中數學冬令營填空題。

三個底面圓半徑都是1的圓柱面，兩兩相切、兩兩垂直。求跟它們都相切的最小球面的半徑。

如果利用高等數學一些的觀點，容易發現半徑是 2√−1 。——從沒有太多約束的更寬的視野看看初等數學問題，可能更容易顯出學習高等一些數學知識的意義或趣味。

高等解法

思路：

找到三個圓柱面中軸線距離平方之和最小的點，這個點是要求的球面的球心；而且已經有線性算法。鏈接雖然只提到了兩條直線的情形，但是可以容易推廣到任意n 條時候。

然後就是求三維空間點到直線的距離的問題了。由於三個圓柱之間的關係，並無特殊性，所以，到每個圓柱中心線的距離相等。用這個距離d 減去圓柱底面半徑1即可。

簡單求解

假設如圖所示的三個簡單圓柱面：

容易找出確定它們各自的中心線所需的固定點的向量Xi 和表示其方向的單位向量Wi (i=1,2,3) 。

Xi 爲下面矩陣的各列：

⎡⎣⎢000202020⎤⎦⎥(1)

Wi 爲下面矩陣的各列：

W=⎡⎣⎢100010001⎤⎦⎥(2)

由參考文獻【1】，則到三個圓柱面中軸線距離平方和最小的點座標是：

⎛⎝⎜⎡⎣⎢000010001⎤⎦⎥+⎡⎣⎢100000001⎤⎦⎥+⎡⎣⎢100010000⎤⎦⎥⎞⎠⎟⎡⎣⎢xyz⎤⎦⎥=⎛⎝⎜⎡⎣⎢020⎤⎦⎥+⎡⎣⎢002⎤⎦⎥+⎡⎣⎢020⎤⎦⎥⎞⎠⎟

即如下線性方程組的解：

⎡⎣⎢200020002⎤⎦⎥⎡⎣⎢xyz⎤⎦⎥=⎡⎣⎢222⎤⎦⎥(3)

所以，球心座標是 (1,1,1) 。此時再用參考文獻[2]的方法，容易得該球心到任意一條圓柱面中心線的距離是 2√ ；從而，相切的情況下，其球面半徑是 2√−1 。預覽一下效果：

簡單評價

高觀點下的初等數學問題，即使看上去比較難或者複雜，大多是可以用至剛的高等數學方法暴力破解的；這時候，不限於初等數學的方法有些像降龍十八掌或九陽神功、乾坤大挪移，直奔目的；加了初等數學方法的限制之後，初等而巧妙的解法則像太極，招式平平，有時候四兩撥千斤更讓人歎爲觀止。

不知道這道題初等數學方法來做會如何精妙，如果也是先找球心的話，初等方法應該還是能做的(但至少，從上面的解法看，矩陣的、線性代數的方法，簡潔而優美)？——我感覺自己是回不去了，好像跳回不到初等數學的框架裏面了？

猜想：拉馬怒金髮威，填空題無須嚴格的證明。可以考慮充分利用對稱性——360°無死角的對稱性。從而，球的中心只能位居 4×4×4 的立方體正中心，進一步就好辦了。

找球心的初等解法

此題找球心是關鍵，從 投影 的角度，利用 對稱性 還是能夠找到球心的。（對稱性 在抽象程度很高的理論物理學裏面也是非常基本的概念，所以，用到“對稱性”不能算丟臉，而且一看就明白，所以很 初等。）

如果採用同前面高等解法的座標系，三個視圖中對應的平面大致是（跟視圖所取的觀察視角有關，我就任取了）：

⎧⎩⎨⎪⎪x−y=0z−y=0z+x=2(4)

從而也能得到 x=y=z=1 。 這應該是不超綱的了。

參考文獻

1. 兩條異面直線的公垂線段中點
   http://blog.csdn.net/lcfactorization/article/details/48108443

2. 三維空間裏點到直線的距離
   http://blog.csdn.net/lcfactorization/article/details/53285631