参考链接
https://blog.csdn.net/Scar_Halo/article/details/82765736
https://blog.csdn.net/sinat_30973431/article/details/85119871
https://blog.csdn.net/qian2213762498/article/details/79857508
https://blog.csdn.net/qq_38984851/article/details/81133840)
01揹包(ZeroOnePack): 有N件物品和一个容量为V的揹包。(每种物品均只有一件)第i件物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入揹包可使价值总和最大。
完全揹包(CompletePack): 有N种物品和一个容量为V的揹包,每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入揹包可使这些物品的费用总和不超过揹包容量,且价值总和最大。
多重揹包(MultiplePack): 有N种物品和一个容量为V的揹包。第i种物品最多有n[i]件可用,每件费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入揹包可使这些物品的费用总和不超过揹包容量,且价值总和最大。
比较三个题目,会发现不同点在于每种揹包的数量,01揹包是每种只有一件,完全揹包是每种无限件,而多重揹包是每种有限件。
01揹包:
状态转移方程便是:
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}
把这个过程理解下:在前i件物品放进容量v的揹包时,它有两种情况: 第一种是第i件不放进去,这时所得价值为:f[i-1][v] 第二种是第i件放进去,这时所得价值为:f[i-1][v-c[i]]+w[i] (第二种是什么意思?就是如果第i件放进去,那么在容量v-c[i]里就要放进前i-1件物品) 最后比较第一种与第二种所得价值的大小,哪种相对大,f[i][v]的值就是哪种。 |
要求将i个物品装进容量为j的揹包的最大价值:即取以下俩个中的较大的一个 一个是:i-1个物品装进容量为(j)的揹包的最大价值; 一个是:i-1个物品装进容量为(j减去第i个物品的重量)的揹包的价值,再加上第i个物品的价值。 |
这里是用二位数组存储的,可以把空间优化,用一位数组存储。
逆序!
for i=1..N
for v=V..0
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};
01揹包模板
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=10005;
int n, m;
int w[maxn], v[maxn];
int dp[maxn];
bool path[maxn][maxn];
void output() { //路径输出
int i=n, j=m;
while (i>=0 && j>0) {
if(path[i][j] == 1) {
printf("%d ", i+1);
j -= w[i];
}
i--;
}
printf("\n");
}
int main() {
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i=0; i<n; i++)
scanf("%d%d", &w[i], &v[i]);
memset(dp, 0, sizeof(dp));
memset(path, false, sizeof(path));
for(int i=0; i<n; i++) {
for(int j=m; j>=w[i]; j--) //注意是逆序、逆序、逆序!!
if (dp[j] < dp[j - w[i]] + v[i]) {
dp[j] = dp[j - w[i]] + v[i];
path[i][j]=true;
}
}
printf("%d\n", dp[m]);
output();
}
完全揹包:
顺序!
想必大家看出了和01揹包的区别,这里的内循环是顺序的,而01揹包是逆序的。
现在关键的是考虑:为何完全揹包可以这么写?
在次我们先来回忆下,01揹包逆序的原因?是为了是max中的两项是前一状态值,这就对了。
那么这里,我们顺序写,这里的max中的两项当然就是当前状态的值了,为何?
因为每种揹包都是无限的。当我们把i从1到N循环时,f[v]表示容量为v在前i种揹包时所得的价值,这里我们要添加的不是前一个揹包,而是当前揹包。所以我们要考虑的当然是当前状态。
for i=1..N
for v=0..V
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=10005;
int n, m;
int w[maxn], v[maxn];
int dp[maxn];
bool path[maxn][maxn];
void output() {
int i=n, j=m;
while (i>=0 && j>0) {
if(path[i][j] == 1) {
printf("%d ", i+1);
j -= w[i];
} else i--;
}
printf("\n");
}
int main() {
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i=0; i<n; i++)
scanf("%d%d", &w[i], &v[i]);
memset(dp, 0, sizeof(dp));
memset(path, false, sizeof(path));
for(int i=0; i<n; i++) {
for(int j=w[i]; j<=m; j++) //注意是顺序、顺序、顺序!!
if (dp[j] < dp[j - w[i]] + v[i]) {
dp[j] = dp[j - w[i]] + v[i];
path[i][j]=true;
}
}
printf("%d\n", dp[m]);
output();
}
多重揹包:
逆序
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=10005;
int n, m;
int w[maxn], v[maxn], c[maxn];
int dp[maxn];
bool path[maxn][maxn];
void output() {
int i=n, j=m;
while (i>=0 && j>0) {
if(path[i][j] == 1 && c[i]) {
printf("%d ", i+1);
j -= w[i];
c[i]--;
} else
i--;
}
printf("\n");
}
int main() {
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i=0; i<n; i++)
scanf("%d%d%d", &w[i], &v[i], &c[i]);
memset(dp, 0, sizeof(dp));
memset(path, false, sizeof(path));
for(int i=0; i<n; i++)
for(int k=0; k<c[i]; k++)
for(int j=m; j>=w[i]; j--) //也是逆序!! 相当于重复01揹包!
if (dp[j] < dp[j - w[i]] + v[i]) {
dp[j] = dp[j - w[i]] + v[i];
path[i][j] = true;
}
printf("%d\n", dp[m]);
output();
}
多重揹包+二进制优化:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=100005;
int n, m;
int w[maxn], v[maxn], c[maxn];
int dp[maxn];
void zero(int weight, int value) {
for(int i=m; i>=weight; i--)
dp[i] = max(dp[i], dp[i-weight]+value);
}
void complet(int weight, int value) {
for(int i=weight; i<=m; i++)
dp[i] = max(dp[i], dp[i-weight]+value);
}
void multi(int weight, int value, int amount) {
if(weight*amount >= m) { //容量小的时候相当于无限揹包
complet(weight, value);
return;
}
int k = 1;
while(k < amount) { //当k个仍小于容量时,用01揹包
zero(k*weight, k*value);
amount -= k;
k <<= 1;
}
zero(amount*weight, amount*value); //最后剩余再用01揹包
}
int main() {
scanf("%d%d", &n, &m);
memset(dp, 0, sizeof(dp));
for(int i=0; i<n; i++)
scanf("%d%d%d", &w[i], &v[i], &c[i]);
for(int i=0; i<n; i++)
multi(w[i], v[i], c[i]);
printf("%d\n", dp[m]);
}