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ACM題目鏈接
https://vjudge.net/contest/353904#overview
0 1揹包問題
問題 :
| 有n件物品（每種物品都只有一件），w[i]表示物品的重量，v[i]表示物品的價值，現有一個容量爲V的揹包，應該如何選物品使得書包內裝的物品的value之和最大呢？ |
爲方便講解和理解，下面講述的例子均先用具體的數字代入，即：eg：number＝4，capacity＝8
int w[5]={0,2,3,4,5};//商品體積
int v[5]={0,3,4,5,6};//商品價值
總體思路
根據動態規劃解題步驟（問題抽象化、建立模型、尋找約束條件、判斷是否滿足最優性原理、找大問題與小問題的遞推關係式、填表、尋找解組成）找出01揹包問題的最優解以及解組成，然後編寫代碼實現。
動態規劃的原理
動態規劃與分治法類似，都是把大問題拆分成小問題，通過尋找大問題與小問題的遞推關係，解決一個個小問題，最終達到解決原問題的效果。但不同的是，分治法在子問題和子子問題等上被重複計算了很多次，而動態規劃則具有記憶性，通過填寫表把所有已經解決的子問題答案紀錄下來，在新問題裏需要用到的子問題可以直接提取，避免了重複計算，從而節約了時間，所以在問題滿足最優性原理之後，用動態規劃解決問題的核心就在於填表，表填寫完畢，最優解也就找到。
最優性原理是動態規劃的基礎，最優性原理是指“多階段決策過程的最優決策序列具有這樣的性質：不論初始狀態和初始決策如何，對於前面決策所造成的某一狀態而言，其後各階段的決策序列必須構成最優策略”。
揹包問題的解決過程
在解決問題之前，爲描述方便，首先定義一些變量：Vi表示第 i 個物品的價值，Wi表示第 i 個物品的體積，定義V(i,j)：當前揹包容量 j，前 i 個物品最佳組合對應的價值，同時揹包問題抽象化（X1，X2，…，Xn，其中 Xi 取0或1，表示第 i 個物品選或不選）。
1、建立模型，即求max(V1X1+V2X2+…+VnXn)；
2、尋找約束條件，W1X1+W2X2+…+WnXn<capacity；
3、尋找遞推關係式，面對當前商品有兩種可能性：
包的容量比該商品體積小，裝不下，此時的價值與前i-1個的價值是一樣的，即V(i,j)=V(i-1,j)；
還有足夠的容量可以裝該商品，但裝了也不一定達到當前最優價值，所以在裝與不裝之間選擇最優的一個，即V(i,j)=max｛V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i)｝。
其中V(i-1,j)表示不裝，V(i-1,j-w(i))+v(i) 表示裝了第i個商品，揹包容量減少w(i)，但價值增加了v(i)；
由此可以得出遞推關係式：
j<w(i) V(i,j)=V(i-1,j)
j>=w(i) V(i,j)=max｛V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i)｝
這裏需要解釋一下，爲什麼能裝的情況下，需要這樣求解（這纔是本問題的關鍵所在！）：
可以這麼理解，如果要到達V(i,j)這一個狀態有幾種方式？
肯定是兩種，第一種是第i件商品沒有裝進去，第二種是第i件商品裝進去了。沒有裝進去很好理解，就是V(i-1,j)；裝進去了怎麼理解呢？如果裝進去第i件商品，那麼裝入之前是什麼狀態，肯定是V(i-1,j-w(i))。由於最優性原理（上文講到），V(i-1,j-w(i))就是前面決策造成的一種狀態，後面的決策就要構成最優策略。兩種情況進行比較，得出最優。
4、填表，首先初始化邊界條件，V(0,j)=V(i,0)=0；
然後一行一行的填表：
如，i=1，j=1，w(1)=2，v(1)=3，有j<w(1)，故V(1,1)=V(1-1,1)=0；
又如i=1，j=2，w(1)=2，v(1)=3，有j=w(1),故V(1,2)=max｛ V(1-1,2)，V(1-1,2-w(1))+v(1) ｝=max｛0，0+3｝=3；
如此下去，填到最後一個，i=4，j=8，w(4)=5，v(4)=6，有j>w(4)，故V(4,8)=max｛ V(4-1,8)，V(4-1,8-w(4))+v(4) ｝=max｛9，4+6｝=10……
所以填完表如下圖：
5、表格填完，最優解即是V(number,capacity)=V(4,8)=10。
核心代碼實現二維數組
for(int i=1;i<=4;i++)
{
//四個物品
for(int j=0;j<=bagV;j++)
{
if(j<w[i])//如果放不進去,dp[i][j]就等於i-1個物品的價值
dp[i][j]=dp[i-1][j];
else//如果可以放進入就要判斷放進去好還是不放進去好(0 1揹包問題),取最大值
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);
}
}
一維數組實現
01揹包還可以用一維數組實現，只不過此時的遞推式 & 初始條件就需要做些改變了。要想用一維數組存放所有狀態，也就是讓該數組某個時間是第 i-1 層的狀態，而過一段時間之後則成爲第 i 層的狀態。如下面所演示的，初始狀態下，一維數組 maxValue[ ]存放的是 i = 1 時的狀態值（對應上面的F[ 1 ][ j ]，j = 0，1，2，…，W）
而當 i = 2 時，我們就需要計算 第二行的狀態值，並把它們覆蓋到maxValue[ ]一維數組之上。
問題是怎麼覆蓋呢？如果我們還是跟二維數組一樣從前往後遍歷數組，覆蓋的過程中某一時刻如下圖所示，其中數組前面部分是屬於 i=2 層的狀態值，後面部分屬於 i=1 層的狀態值。
但是，當我們繼續計算並寫入 i=2 的狀態值時，很有可能用到 i=1 的某個狀態值，而這個狀態值卻已經被覆蓋掉了，比如，我們計算 i=2 的maxValue[ 6 ]時，要找到 i=1 的 maxValue[ 3 ] 狀態值，本來它應該爲0，但卻變成4，如果我們用4去計算
maxValue[ 6 ]，就會得到錯誤的結果。
改寫之後，原來maxValue[ W ]的值就由3變爲4。接着，改寫maxValue[ W-1 ]，由於計算 i=2 的maxValue[ W-1 ] 不需要用到 i=1 的maxValue[ W ]狀態，所以，maxValue[ W ]的改動不影響maxValue[ W-1 ]的計算。
因此用一維數組實現必須是逆序
一維數組核心代碼
for (int i=1; i<=n; i++)
{
for (int j=bagv; j>=w[i]; j--)
{
//TM可算是明白了爲什麼要逆序,dp[j]只與它本身有關(就是上一層揹包狀態)還有前面某一個狀態值有關
dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]] + v[i]);
}
代碼實現二維數組
爲了和之前的動態規劃圖可以進行對比，儘管只有4個商品，但是我們創建的數組元素由5個。
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
int w[5]={0,2,3,4,5};//商品體積
int v[5]={0,3,4,5,6};//商品價值
int bagV=8;//揹包大小
int dp[5][9];
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(int i=1;i<=4;i++)
{
//四個物品
for(int j=0;j<=bagV;j++)
{
if(j<w[i])//如果放不進去,dp[i][j]就等於i-1個物品的價值
dp[i][j]=dp[i-1][j];
else//如果可以放進入就要判斷放進去好還是不放進去好(0 1揹包問題),取最大值
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);
}
}
for (int i = 0; i < 5; i++)
{
//查看數字dp
for (int j = 0; j <= bagV; j++)
printf("%d ", dp[i][j] );
printf("\n");
}
printf("%d\n", dp[4][8]);//輸出最優值
return 0;
}
揹包問題最優解回溯
通過上面的方法可以求出揹包問題的最優解，但還不知道這個最優解由哪些商品組成，故要根據最優解回溯找出解的組成，根據填表的原理可以有如下的尋解方式：
V(i,j)=V(i-1,j)時，說明沒有選擇第i 個商品，則回到V(i-1,j)；
V(i,j)=V(i-1,j-w(i))+v(i)時，說明裝了第i個商品，該商品是最優解組成的一部分，隨後我們得回到裝該商品之前，即回到V(i-1,j-w(i))；
一直遍歷到i＝0結束爲止，所有解的組成都會找到。
就拿上面的例子來說吧：
最優解爲V(4,8)=10，而V(4,8)!=V(3,8)卻有V(4,8)=V(3,8-w(4))+v(4)=V(3,3)+6=4+6=10，所以第4件商品被選中，並且回到V(3,8-w(4))=V(3,3)；
有V(3,3)=V(2,3)=4，所以第3件商品沒被選擇，回到V(2,3)；
而V(2,3)!=V(1,3)卻有V(2,3)=V(1,3-w(2))+v(2)=V(1,0)+4=0+4=4，所以第2件商品被選中，並且回到V(1,3-w(2))=V(1,0)；
有V(1,0)=V(0,0)=0，所以第1件商品沒被選擇。
代碼實現
揹包問題最終版詳細代碼實現如下：
#include<iostream>
using namespace std;
#include <algorithm>
int w[5] = { 0 , 2 , 3 , 4 , 5 }; //商品的體積2、3、4、5
int v[5] = { 0 , 3 , 4 , 5 , 6 }; //商品的價值3、4、5、6
int bagV = 8; //揹包大小
int dp[5][9] = { { 0 } }; //動態規劃表
int item[5]; //最優解情況
void findMax() { //動態規劃
for (int i = 1; i <= 4; i++) {
for (int j = 0; j <= bagV; j++) {
if (j < w[i])
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
else
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]);
}
}
}
void findWhat(int i, int j) { //最優解情況
if (i >= 0) {
if (dp[i][j] == dp[i - 1][j]) {
item[i] = 0;
findWhat(i - 1, j);
}
else if (j - w[i] >= 0 && dp[i][j] == dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]) {
//*******想想爲什麼是********else if(......)而不是else,那是因爲max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i])不能確定那個大所以要判斷一下是否dp[i][j] == dp[i - 1][j - w[i]] + v[i],從而判斷選沒選
item[i] = 1;
findWhat(i - 1, j - w[i]);
}
}
}
void print() {
for (int i = 0; i < 5; i++) { //動態規劃表輸出
for (int j = 0; j < 9; j++) {
cout << dp[i][j] << ' ';
}
cout << endl;
}
cout << endl;
for (int i = 0; i < 5; i++) //最優解輸出
cout << item[i] << ' ';
cout << endl;
}
int main()
{
findMax();
findWhat(4, 8);
print();
return 0;
}
例題
題目鏈接
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2602
AC代碼
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cstring>
#define ll long long int
#define maxn 1005
using namespace std;
int v[maxn],w[maxn],dp[maxn];
int main()
{
int t,n,V,i,j,ans;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
memset(dp,0,sizeof(dp));
scanf("%d %d",&n,&V);
for(i=0;i<n;i++)
scanf("%d",&v[i]);
for(i=0;i<n;i++)
scanf("%d",&w[i]);
for(i=0;i<n;i++)
for(j=V;j>=w[i];j--)
dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
printf("%d\n",dp[V]);
}
return 0;
}
快來練一練吧
ACM題目鏈接
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2670
下面介紹完全揹包問題,看下一篇文章
https://blog.csdn.net/weixin_43732535/article/details/104189808