三階貝塞爾曲線一分爲二的一般公式

三階貝塞爾曲線被廣泛用於各種需要平滑曲線的設計領域，一般通過多段三階貝塞爾曲線順次連接，構成比較複雜的曲線。

比如下圖中，A、B、C和D控制紅色曲線，D、E、F和G控制綠色曲線，G、H、I和A控制藍色曲線。

對於上面紅色曲線，我們把A和D稱爲端點，B和C稱爲柄點，可以發現端點總是被相鄰曲線共用。

每一段三階貝塞爾曲線均由兩個端點和兩個柄點，一共四個控制點進行控制，對於其中每個控制點的改變，均會影響這段曲線所有部分。

出於曲線微調的目的，在柄點B的移動過程中，只改變端點A到點E的那一段曲線（E點的位置固定起來），而對於點E到端點D的部分則維持不變。

這樣的情況下，就需要分拆這段貝塞爾曲線爲兩段，端點A到點E爲一段，點E到端點D爲一段，然後再單獨修改端點A到點E的那段曲線。

展示一下曲線分開後，單獨控制的效果：

我們知道A、B、C和D四個控制點，描述了上面的三階貝塞爾曲線，那麼就有以下兩個問題：

第一，分拆後的曲線AE和曲線ED，能否用三階貝塞爾曲線描述？

第二，如果能夠的話，那麼曲線AE和曲線ED的控制點在哪裏？

對於第一個問題，答案是肯定的。

可以證明曲線AE和曲線ED上的三階貝塞爾曲線的參數方程，經過對參數變量的變換，可以轉換爲完整三階貝塞爾曲線的參數方程（參數變量的取值範圍調整到對應的定義域）。其中，曲線AE和曲線ED的三階貝塞爾曲線的參數方程的參數變量，與完整三階貝塞爾曲線的參數方程的參數變量，有着確定的函數關係。

那麼，下面就針對第二個問題，來尋求解答。

由三階貝塞爾曲線的參數方程定義

可以將點E定義爲t等於特定值e (0<e<1)時的點P(e)，也即：

針對三階貝塞爾曲線的定義，可以作出以下輔助點和輔助線；

根據貝塞爾曲線的特性，可以知道線段AB是貝塞爾曲線在A點的切線段，線段IJ是貝塞爾曲線在E點的切線，線段CD是貝塞爾曲線在D點的切線。

其中F、G、H、I、J是與貝塞爾曲線相關的輔助點，根據三階貝塞爾曲線的規則，座標可以定義如下：

另外，E也可以通過I和J來定義，如果進行推算，那麼結果和P(e)也是一致的：

經過觀察，感覺A、F、I和E很像是曲線AE的貝塞爾曲線控制點的樣子，下面就針對這個猜想進行驗證：

假設A、F、I和E就是曲線AE的貝塞爾曲線的控制點，那麼以u爲參數變量的三階貝塞爾曲線方程可以表達如下：

代入F、I和E的座標公式，則Q(u)可以轉換爲如下形式：

經過化簡和整理可得：

以自變量t代替ue，則可以定義如下函數：

而曲線AE就是三階貝塞爾曲線參數方程P(t)定義在t=[0, e]的部分，也即：

R(t)和PAE(t)的定義域和函數方程完全相同，所以可以得知Q(u)就是曲線AE的參數方程，也即A、F、I和E是曲線AE的三階貝塞爾曲線的控制點，從而可以驗證前面的猜想。

對於曲線ED部分，也可以採用相同方式進行證明，這裏不再贅述。

從而，控制點ABCD描述的三階貝塞爾曲線，可以被分解爲控制點AFIE描述的貝塞爾曲線和控制點EJHD描述的貝塞爾曲線。

也即，對於三階貝塞爾參數曲線方程P(t)而言，對於任意0<e<1，均可以將該曲線從P(e)處斷開成兩個三階貝塞爾曲線。

例如下圖中，取e=0.4，那麼該曲線從 P(0.4)處斷開爲紅色和綠色兩根貝塞爾曲線。

感謝Grapher和GeoGebra軟件，使得方便排版文章中使用的公式和曲線。