【清華冬令營2018模擬】距離

題解

Description

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Data Constraint

題解

由題意可列出：

ans=∑ki=1i∗∑kj=1Cjk∗(2∗i−1)k−j∗2j
由二項式定理：
(a+b)n=∑ni=0Cin∗ai∗bn−i
原式等價於
ans=∑ni=1i∗[(2∗i+1)k−(2∗i−1)k]
不難發現這個式子的指數是k+1級別的
所以使用拉格朗日插值法

貼代碼

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define ll long long

using namespace std;

const int maxn=1e6+5,md=1e9+7;

int yu[maxn];
int i,j,k,l,m,n,x,y,ans,p,tot,mi,bi;
int c1,c2;

int quickmi(int x,int y){
    int t1=1,t2=x;
    while (y){
        if ((y & 1)==1) t1=(1ll*t1*t2)%md;
        t2=(1ll*t2*t2)%md;
        y=y/2;
    }
    return t1;
}

int main(){
    freopen("dis.in","r",stdin);
    freopen("dis.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&k,&n);
    fo(i,1,k+2) yu[i]=(1ll*i*(md+quickmi(2*i+1,k)-quickmi(2*i-1,k))%md)%md;
    fo(i,2,k+2) yu[i]=(yu[i]+yu[i-1])%md;
    c1=c2=1;
    if (n<=k+2){
        printf("%d",yu[n]);
        return 0;
    }
    fo(i,2,k+2){
        c1=(1ll*c1*(n-i))%md;
        c2=(1ll*c2*(1-i))%md;
    }
    ans=(ans+yu[1]*((1ll*c1*quickmi(c2,md-2))%md))%md;
    mi=-k-1; bi=1;
    fo(i,2,k+2){
        c1=((ll)c1*quickmi(n-i,md-2))%md;
        c1=((ll)c1*(n-i+1))%md;
        c2=((ll)c2*quickmi(mi,md-2))%md;
        c2=((ll)c2*bi)%md;
        mi++; bi++; if (mi==0) mi++;
        ans=(ans+yu[i]*(((ll)c1*quickmi(c2,md-2))%md))%md;
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}