空間域濾波

（1）基礎

i.機理

空間濾波器由（1）一個鄰域（圖像中的一個較小的矩陣），（2）對該鄰域的圖像像素執行預定義操作（線性、非線性）組成。濾波器的中心訪問圖像中的每個像素，就產生了濾波後的圖像。如果濾波是線性操作，則濾波器就是線性空間濾波器。如果濾波是非線性操作，那麼濾波器就是非線性濾波器。空間濾波大多數使用空間濾波器直接作用於圖像本身像素完成圖像平滑等操作。線性空間濾波器於頻率域濾波器之間存在一一對應的關係。然而，空間濾波可提供相當多的功能，同時還可用於非線性濾波，這在頻率域是做不到的。空間濾波器的機理，濾波後的g(x,y)如下所示。

g(x,y)擴展後的公式如下所示：

爲了更立體顯示的話，如下圖所示。

上述操作是相關操作，另一個是卷積操作，卷積首先要旋轉180度，然後進行相關操作。

（2）平滑空間濾波器

i.平滑線性過濾器（均值過濾器）

均值過濾器是指包含在濾波器模板鄰域內像素總和的平均值。典型的隨機噪聲是由灰度級的急劇變化組成，因此，均值過濾器用於模糊處理和降低噪聲。同時圖像邊緣也是由圖像灰度尖銳變化帶來的特徵，均值濾波還是存在邊緣模糊的負面效應。

均值過濾器是將圖像模糊化，原理是利用像素均值來模糊整個圖像。而均值過濾器的模板大小設定則是由融入背景物體尺寸來決定的。

上圖中的第二個圖時加權平均過濾器，加權平均考慮了像素之間的重要性，相比均值過濾器更重要一些。

ii.統計排序（非線性）濾波器

統計排序濾波器以統計排序的值代替中心像素的值。如，中值、最大值及最小值濾波器。它的主要功能是使擁有不同灰度的點看起來更接近於它的相鄰點，具有非常優秀的去噪能力，而且比相同尺寸的線性平滑濾波的模糊程度明顯要低。

均值濾波用鄰域內像素的平均值來代替中心像素的值，相當於低通濾波，有將圖像模糊化的趨勢，對椒鹽噪聲基本無能爲力。

中值濾波是將像素鄰域內灰度的中值來代替中心像素的值，把不同灰度的像素點看起來更接近於鄰域內的像素點，優點是可以很好的過濾掉椒鹽噪聲，缺點是易造成圖像的不連續性。

最大值濾波是用鄰域內像素的最大值來代替中心像素的值，對圖像中的最亮點非常有用，並消除圖像中的“椒”噪聲（亮度值小的噪聲）。

最小值濾波是用鄰域內像素的最小值來代替中心像素的值，對圖像中的最暗點非常有用，並消除圖像中的“鹽”噪聲（亮度值大的噪聲）。

阿爾法均值過濾器是在鄰域內去掉最低灰度值的d/2和最高值的d/2，利用剩下的mn-d個像素的平均值來代替中心像素的值，對高斯噪聲和椒鹽噪聲混合有很好作用。d等於0的情況下，改濾波器退化成均值濾波器。

iii.自適應濾波器

上述濾波器並沒有考慮圖像中的一點對於其他點的特徵變化，自適應濾波器的特性變化是以mxn的矩陣窗口Sxy定義的濾波器區域內圖像的統計特性爲基礎的，自適應濾波器相比上述2個濾波器具有很好的性能。同時也增加了濾波器的複雜度。自適應濾波器所達到的效果與算術和幾何均值濾波器相似，重要的是圖像更清晰一些（數字圖像處理圖5.13結論）。

自適應濾波器是建立在均值和方差基礎上的，均值給出了鄰域內平均灰度的度量，而方差（每個像素點的灰度值減去圖像平均灰度值的平方和除以總的像素個數）則給出了鄰域內對比度的度量。

自適應中值濾波器可以更好的處理具有更大概率的脈衝噪聲，另一個優點是平滑非脈衝噪聲時試圖保留細節，這是傳統中值濾波器所做不到的。

其他常見自適應過濾器，如LMS、NLMS、RLS

（3）銳化空間濾波器

銳化處理的主要目的是爲了突出圖像上地物的邊緣、輪廓，或某些線性目標要素的特徵。這種濾波方法提高了地物邊緣與周圍像元之間的反差，因此也被稱爲邊緣增強。主要是用到微分來定義和實現銳化算子方法。微分算子的響應強度與圖像在用算子操作的這一點的突變程度成正比，這樣微分算子增強邊緣和其他突變（噪聲），削弱灰度變化緩慢的區域。

我們最感興趣的是恆定灰度區域中，突變的開始點與結束點（臺階和斜坡突變）及沿着灰度斜坡處的微分性質。這些類型的突變可以用來對圖像中的噪聲點、線與邊緣建模。

一階微分算子必須保證以下幾點：(1)在恆定灰度區域的微分值爲0；(2)在灰度臺階或斜坡處微分值非0；(3)沿着斜坡的微分值非0

二階微分算子必須保證以下幾點：(1)在恆定區域的微分值爲0；(2)在灰度臺階或斜坡的起點處微分值非0；(3)沿着斜坡的微分值非0

數字圖像中的邊緣在灰度上常常類似於斜坡過度，這樣就導致圖像的一階微分產生較粗的邊緣，因爲沿着斜坡的微分非零。另一方面，二階微分產生由零分開的一個像素寬的雙邊緣。二階微分在增強細節方面要比一階微分好得多，這是一個適合銳化圖像的理想特性。首先介紹一下一維函數f(x)，其一階微分的基本定義時差值：

二階微分和圖像一階微分保持一致，具體差值我微分方程如下：

i.拉普拉斯算子

拉普拉斯算子就是二維函數的二階微分的離散公式，然後構造一個基於該公式的濾波器模板組成的。最關注的是一種各向同性濾波器，這種濾波器的響應與濾波器作用的圖像的突變方向無關。各向同性濾波器是旋轉不變的，即將源圖像選擇後進行濾波處理給出的結果與先對圖像濾波然後再選擇的結果相同。一個二維圖像函數f(x,y)的拉普拉斯算子定義爲：