之前介紹了關於空間域濾波的一些操作，主要目的是減少噪聲和平滑圖像，空間域的處理方法都是在已知噪聲數據類型基礎上進行噪聲過濾的，而在某些噪聲圖像類別上上述方法就顯得十分渺小了，頻率域的引入就是來尋找噪聲的類型，並進行空間過濾的。其中頻率是單位時間變化期間，一個周期函數重複相同值序列的次數。頻率域濾波(即波數)爲圖像像元的灰度值隨着位置變化的空間頻率，以頻譜表示信息分佈特徵，可以將一幅圖像像元值在空間上的變化分解爲具有不同振幅、空間頻率和相位的簡振函數的線性疊加，圖像中各種空間頻率成分的組成和分佈稱爲空間頻譜。這種對圖像的空間頻率特徵進行分解、處理和分析稱爲頻率域處理。頻率中最典型的就是傅立葉變換，傅立葉變換能把圖像從空間域變換到只包含不同頻率信息的頻率域，原圖像上的灰度突變部位、圖像結構複雜的區域、圖像細節及干擾噪聲等信息集中在高頻區，而原圖像上灰度變化平緩部位的信息集中在低頻區(變換函數還有小波變換，將在後續進行分析和解析)。

傅立葉變換

傅立葉變換是將時間域轉換爲頻率域的工具，傅立葉指出任何週期或函數都可以表示爲不同頻率的正弦和/或餘弦之和的形式，每個正弦和/或餘弦乘以不同的係數（稱該和爲傅立葉級數）。無論函數多麼複雜，只要它是週期的，並且滿足一定條件，都可以用這樣的和表示。一維變換函數（一對，變換及反變化函數）爲：

其中，變換後的的函數F(x)，f(t)爲變換前周期函數，μ爲周期函數分量，週期從0到1/2π。

利用一維變量擴展到二維變量，二維傅立葉變換公式爲：

e^j2π(xμ+yv)實際上是一個平面波（的共軛），它的傳播方向與(u,v)相同，角頻率是根號下x^2+y^2。可以看做是平面波在x方向的角頻率是u和y方向的角頻率是v。二維傅立葉變換具有旋轉不變性了（證明：如何證明二維離散傅里葉變換的旋轉不變性？）。同時，變換完，中心是兩個角頻率都爲0（直流分量），越靠近中心，兩個方向的角頻率越低，合成的角頻率與到中心的距離成正比，所以中心是低頻分量，外部是高頻分量。幅度決定圖像的強弱，相位覺得圖像的像素。分析

頻率域濾波基本步驟

preprocessing：圖像預處理步驟，用0填充f(x,y)，在二維循環卷積時爲了保證週期性進行0填充（傅里葉變換濾波時，爲什麼需要對輸入數據進行零填充？）

Fourier transform：圖像傅立葉變換

filter function：濾波器

Inverse Fourier transform：反向傅立葉變換

postprocessing：圖像裁剪，輸出g(x,y)

僞流程：

1.f(x,y)是由MxN構成，填充圖像大小爲P(P=2M)xQ(Q=2N)，f_p(x,y)

2.將f_p(x,y)利用-1^(x+y)將圖片濾波器移動到中心，低頻部分移到中間，高頻部分移到四周，以便後面的計算。

3.計算f_p(x,y)傅立葉變化得到F(u,v)

4.生成一個實的、對陣的過濾器，中心在（P/2,Q/2），大小爲PxQ

5.計算H(u,v)F(u,v)，並進行換位，得到初始時圖像的傅立葉變換（DEF）的數據排列形式，即低頻部分在四周，高頻部分在中間（原點在左上角意味着低頻部分在左上角，又因爲的DEF是中心對稱的，可得初始時圖像的DEF應是低頻在四周高頻在中間）。

6.計算反傅立葉函數，得到每個元素的幅度（實部和虛部平方和的平方根），並取左上角MxN區域，得到最終的輸出圖像g(x,y)。

過濾器

將一幅圖像的模糊化（頻率域平滑）可通過高頻的衰減來達到，稱爲低通濾波器。

將一幅圖像的銳利化（邊緣聚變與高頻有關）可通過低頻的衰減來達到，稱爲高通濾波器。

a.低通濾波器

（1）理想低通濾波器

在以原點爲圓心，以 $D_{0}$ 爲半徑的園內，無衰減地通過所有頻率，而在該圓外"切斷"所有頻率的二維低通濾波器，稱爲理想低通濾波器，它由下面函數確定：

$H(u,v)=\left\{\begin{matrix} 1 & D(u,v)<=D_{0} \\ 0 & D(u,v) > D_{0} \end{matrix}\right.$

其中，D(u,v)是頻率域中點(u,v)與頻率矩陣中心的距離，即：

$D(u,v)=[(u-P/2)^{2}+(v-Q/2)^{^{2}}]^{1/2}$

圖4.40(a)中是H(u,v)的透視圖，圖b顯示了以圖像顯示的濾波器，表明在半徑D0的圓內，所有頻率都無衰減的通過，而在此圓外的所有頻率則是完全被衰減（濾除）。理想低通濾波器是關於原點徑向對稱的，這意味着該濾波器完全是一個徑向橫截面來定義，將圖繞着H(u,v) 360度旋轉則得到圖a。

（2）布特沃斯低通濾波器

截止頻率位於距原點D0處的n階布特沃斯低通濾波器（BLPF）的傳遞函數定義如下：
$H(u,v)=\frac{1}{1+[D(u,v)/D_{0}]^{2n}}$

BLPF傳遞函數並沒有在通過頻率和濾除頻率之間給出明顯截止的尖銳的不連續性。圖4.44(a)是透視圖，表明在半徑D0的圓內，頻率是有規則的通過，而在此圓外的所有頻率則是完全被衰減（濾除）。在空間域的一階布特沃斯濾波器沒有振鈴現象，在二階濾波器中，振鈴現象通過很難察覺（通過設置不同的n值，二階的BLPF是在有效的低通濾波和可接受的振鈴特性之間好的折中），單更高階數的濾波器中振鈴現象會很明顯。