[FractionalProgramming]分數規劃

一般形式

Minimizeλ=f(x)=a(x)b(x)
s.t.b(x)>0,x∈S

其中S是解向量空間，a(x),b(x) 是連續的實值函數

解法

設λ∗=f(x∗) 爲該規劃的最優解，有

λ∗=f(x∗)=a(x∗)b(x∗)
0=a(x∗)−λ∗b(x∗)
令g(λ)=min {a(x)−λb(x) }

函數g 有如下性質

性質一

g(λ) 是嚴格遞減函數，即對於λ1<λ2,g(λ1)>g(λ2)
證明：設
g(λ1)=a(x1)−λ1b(x1)
則>a(x1)−λ2b(x1)
≥a(x2)−λ2b(x2)=g(λ2)

性質二（Dinkelbach定理）

λ∗ 爲原規劃的最優解，當且僅當g(λ∗)=0

那麼解法就很顯然了
首先我們確定一個答案區間，然後二分答案λ 即可

以上分析是針對最小化目標函數的規劃，實際上對於最大化目標函數一樣適用