對於一些博弈問題的總結

可能是自己做的題目不夠多把，自己目前對博弈題的認識是：只要是符合nim規則的博弈，都可以用sg函數求解，但是如果我們只考慮單個遊戲，不考慮遊戲之間的組合，只考慮必敗態和必勝態就好了，自己能力有限，目前對這個結論只有一個感性上的認識，因爲自己對sg函數的認識只停留在mex操作這個低級的層面，雖然維基百科上有sg相關的證明，但是自己英語的閱讀能力太差，又忙於訓練，沒有太多的時間。希望大家原諒我不能嚴謹地證明這個結論，也希望大家能對我提出各種意見。

組合遊戲

組合遊戲必須使用sg函數，因爲各個獨立的遊戲之間的必敗態和必勝態之間已經失去了關聯性，無法單純地用P，N這兩個簡單的符號表示，而是要利用sg函數以及各個獨立遊戲sg值的異或和來深層的挖掘目前狀態的性質。網上有很多sg函數相關的入門文章，但我覺得這些文章大多都是點到即止，如果你想深入地瞭解sg函數的相關原理，應該選擇直接閱讀相關論文，如果你只是想可以成功地切幾個題，恕我愚昧的言論：只要記結論就夠了。（我不是不鼓勵大家去了解背後的原理，我只是想說，在我個人的理解中，如果精力有限，sg函數是無法很好理解的，淺嘗輒止的話，反而更不好）

在一些大數據的題目裏，sg函數的計算會直接導致TLE，這時就要通過本地打一些小數據的表，來試圖找到題目裏的規律，當然，有些題目我們可以通過自己分析來得到解題需要的規律或者結論，是通過分析還是通過打表得出，就是仁者見仁智者見智了。

丟一道昨天做到的利用sg函數的博弈題（只是昨天做到而已，沒有代表性，但依然可以做做熟悉下sg函數）：http://acm.tju.edu.cn/toj/showp4172.html
自己的代碼：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

#define MS(x, y) memset(x, y, sizeof(x))

const int MAXN = 1e3 + 5;

int n;
int sg[MAXN];
bool sgVis[MAXN];
char str[MAXN];

int main() {
  for (int i = 2; i < MAXN; ++i) {
    for (int j = 0; j <= i - 2; ++j) {
      sgVis[sg[j] ^ sg[i - 2 - j]] = true;
    }
    for (int j = 0; j < MAXN; ++j) if (!sgVis[j]) {
      sg[i] = j;
      break;
    }
    for (int j = 0; j <= i - 2; ++j) {
      sgVis[sg[j] ^ sg[i - 2 - j]] = false;
    }
//    cout << i << ": " << sg[i] << endl;
  }
  int T;
  scanf("%d", &T);
  while (T--) {
    scanf("%d%s", &n, str);
    int cnt = 0, ans = 0;
    for (int i = 0; str[i]; ++i) {
      if (str[i] == '0') {
        ans ^= sg[cnt];
        cnt = 0;
      } else ++cnt;
    }
    ans ^= sg[cnt];
    puts(ans ? "Alice" : "Bob");
  }
}

非組合遊戲

其實就是隻有一個遊戲的意思了，這種題我們可以不依靠sg函數，直接通過必敗點和必勝點的判斷來找到解題的方法。這樣少了mex操作，可以節省時間，自己思考的時候因爲只有P和N兩種狀態，思考起來比sg值更直觀。

丟一道最近做過的題：http://acmoj.shu.edu.cn/problem/418/，這題直接通過N點P點打表就好了，即：必敗點的前驅一定是必勝點，不需要考慮sg函數。

代碼：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int MAXN = 500 + 5;

int n, m;

bool notprime[MAXN];
int prime[MAXN], pnum;
bool win[MAXN][MAXN];

int main() {
  for (int i = 2; i < MAXN; ++i) if (!notprime[i]) {
    prime[pnum++] = i;
    for (int j = i * 2; j < MAXN; j += i) notprime[j] = true;
  }
  for (int i = 1; i < MAXN; ++i) for (int j = 1; j < MAXN; ++j) if (!win[i][j]) {
    for (int k = 0; k < pnum; ++k) {
      if (i + prime[k] < MAXN) win[i + prime[k]][j] = true;
      if (j + prime[k] < MAXN) win[i][j + prime[k]] = true;
      if (i + prime[k] < MAXN && j + prime[k] < MAXN) win[i + prime[k]][j + prime[k]] = true;
    }
  }
  int T;
  scanf("%d", &T);
  while (T--) {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    if (win[n][m]) puts("Sora");
    else puts("Shiro");
  }
}