藍橋杯 金陵十三釵

金陵十三釵
　　本題難度：難
　　本題佔分比例：5%

問題描述

　　在電影《金陵十三釵》中有十二個秦淮河的女人要自我犧牲代替十二個女學生去赴日本人的死亡宴會。爲了不讓日本人發現，自然需要一番喬裝打扮。但由於天生材質的原因，每個人和每個人之間的相似度是不同的。由於我們這是編程題，因此情況就變成了金陵n釵。給出n個女人和n個學生的相似度矩陣，求她們之間的匹配所能獲得的最大相似度。
　　所謂相似度矩陣是一個n*n的二維數組like[i][j]。其中i,j分別爲女人的編號和學生的編號，皆從0到n-1編號。like[i][j]是一個0到100的整數值，表示第i個女人和第j個學生的相似度，值越大相似度越大，比如0表示完全不相似，100表示百分之百一樣。每個女人都需要找一個自己代替的女學生。
　　最終要使兩邊一一配對，形成一個匹配。請編程找到一種匹配方案，使各對女人和女學生之間的相似度之和最大。

輸入格式

　　第一行一個正整數n表示有n個秦淮河女人和n個女學生
　　接下來n行給出相似度，每行n個0到100的整數，依次對應二維矩陣的n行n列。

輸出格式

　　僅一行，一個整數，表示可獲得的最大相似度。

樣例輸入

4
97 91 68 14
8 33 27 92
36 32 98 53
73 7 17 82

樣例輸出

354

數據規模和約定

　　對於70%的數據，n<=10
　　對於100%的數據，n<=13

樣例說明

　　最大相似度爲91+92+93+73=354

這個題最簡單直接的思路是採用DFS搜索，一共有n!種情況，在n<=10的時候能通過測試數據，測試了一下，通過70%的數據，30%超時。代碼如下：

#include<iostream>
using namespace std;
int mat[13][13],vis[13];//vis[i]=1表示已經選定
int ans=0,n;
void dfs(int cur,int sum)//cur表示當前已經選定的人數，sum表示相似度的和
{
if(cur==n)
{
ans=max(sum,ans);
return;
}
for(int i=0;i<n;i++)
{
if(!vis[i])
{
vis[i]=1;
dfs(cur+1,sum+mat[cur][i]);
vis[i]=0;
}
}
}
int main()
{
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
cin>>mat[i][j];
dfs(0,0);
cout<<ans;
return 0;
}

另外一種思路是採用狀態壓縮的動態規劃，狀態轉移方程爲dp[i][j]=max(dp[i][k]+like[i][t]),前i個學生與狀態J匹配的最大相似和，其中j爲二進制數，如j=5即二進制數0101，表示第一個女人和第三個女人與前兩個學生匹配，k爲j中將第t位替換爲0之後的數。時間複雜度O(n*n*2^n)

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int like[13][13], n;
int d[14][(1 << 13) - 1];
void dp()
{
	int i, j, k, t;
	for (i = 0;i<n;i++)
		for (j = 1;j<1 << n;j++)
		{
			int c = 0;
			for (k = 0;k<n;k++)
				if (j&(1 << k))
					c++;
			if (c != i + 1)  continue;
			if (i == 0)
			{
				for (t = 0;t<n;t++)
					if (j&(1 << t))
						d[i][j] = like[i][t];
			}
			else
				for (t = 0;t<n;t++)
					if (j&(1 << t))
					{
						int s = (~(1 << t))&j;
						d[i][j] = max(d[i][j], d[i - 1][s] + like[i][t]);
					}
		}
}
int main()
{
	cin >> n;
	for (int i = 0;i<n;i++)
		for (int j = 0;j<n;j++)
			cin >> like[i][j];
	dp();
	cout << d[n - 1][(1 << n) - 1];
	return 0;
}