线性代数学习笔记7

第二十六集　　对称矩阵及正定性

对称矩阵
对称矩阵A=AT 的特征值为实数，具有完全正交的特征向量。
这里的“有”，是指可以选出一套完全正交的特征向量。通常情况下，如果特征值互不相同，那么每个特征值的特征向量是在一条线上（特征向量空间是一维的），那些线是垂直的。但是如果特征值重复，那就有一整个平面的特征向量，在那个平面上，我们可以选择垂直的向量（比如单位矩阵）。
如果A 具有n 个线性无关的特征向量，可以对角化得到A=SΛS−1 。而对于对称矩阵，A=QΛQ−1=QΛQT ，其中Q 为正交矩阵，列向量为标准正交基（见线性代数学习笔记4），这个公式本身还显示了矩阵的对称性（A=QΛQT=(QΛQT)T=AT ）。
矩阵能够进行这种分解，在数学上称为“谱定理”，“谱”是指矩阵特征值的集合，在物理上称之为“主轴定理”。
证明实特征值
实数矩阵A 具有特征值λ 和特征向量x，则有Ax=λx 。如果一个实矩阵有一个复数特征值λ 和一个复数特征向量x ，则它必然有其共轭特征值λ¯ 和共轭特征向量x¯ ，即其共轭复数满足Ax¯=λ¯x¯ 。目的是证明λ 为实数，通过引入对称性质。
将这个方程转置，得到x¯TAT=x¯Tλ¯ ，其中λ¯ 是个数字。因为A 是对称矩阵，所以x¯TA=x¯Tλ¯ ，右乘x得到x¯TAx=x¯Tλ¯x （1）。将Ax=λx 左乘x¯T 得到x¯TAx=x¯Tλx （2）。联立（1）（2）得到x¯Tλ¯x=x¯Tλx 。因此若有x¯Tx≠0 则λ¯=λ ，即λ 为实数。
证明x¯Tx≠0

比如复数向量x1=a+bi,其共轭x1¯=a−bi ，则x1x1¯=a2+b2 。如果一个向量为复向量，那么x¯Tx 就是其长度的平方。

好性质的矩阵是其特征值为实数并且拥有一套正交特征向量。对于实矩阵，即为满足A=AT 的对称矩阵是好性质的矩阵；对于复矩阵，如果一个复矩阵有一个复数特征值λ 和一个复数特征向量x ，则它必然有其共轭特征值λ¯ 和共轭特征向量x¯ ，即其共轭复数满足A¯x¯=λ¯x¯ 。将这个方程转置，得到x¯TA¯T=x¯Tλ¯ ，则是满足A=A¯T ，上面的推导才全部成立，才是好性质的矩阵。

对于对称矩阵，A=QΛQ−1=QΛQT ，可以写作：


因为列向量qk 是标准正交基，所以qTkqk=1 。所以每一个对称矩阵都是一些互相垂直的投影矩阵的线性组合。

对于大型矩阵，通过计算|A−λI|=0 得到特征值进行判定难以实现，即使用MATLAB 求解，结果也不一定可靠，但MATLAB可以得到矩阵的主元，而对称阵的主元中正负数的个数与特征值相同，即正主元的数目等于正特征值的数目。矩阵A+bI 的特征值比矩阵A 的特征值大b，可以通过A+bI 的主元来了解矩阵A 的特征值与b 的大小关系，因此利用这个性质可以估计特征值的状态。
对于对称矩阵，主元的乘积=特征值的乘积=矩阵行列式的值

正定矩阵
正定矩阵A 是特征值都为正数的对称矩阵。它的主元也均为正数。
因为主元的乘积=矩阵行列式的值。主元都为正数，且本身为对称矩阵，因此A 是正定矩阵。


本讲的内容将主元、行列式和特征值的概念结合在了一起，对于正定矩阵这些都是正的。

第二十八集　　正定矩阵和最小值

因为半正定矩阵特征值大于等于0，所以半正定矩阵一定有一个特征值为0。

如果在鞍点情况下切割，就得到一个双曲线。
正定矩阵与几何的关系：椭圆和正定有关，双曲线与正定无关。

这是椭圆体的方程。

第三十集　　奇异值分解

因为行空间是[4,3] 扩张的直线，所以v1是[4,3]单位化后的[0.8,0.6]。而v2与v1正交。同理，列空间是[4,8]=[1,2] 扩张的直线。

v2是零空间向量，u2是左零空间向量，对应于对角矩阵上的0特征值，很容易操作。重点是v1 和u1。

V和U之间没有耦合，A乘以每一个v对应一个u的方向。

参考文献：
线性代数及其应用(美)David C.LayPDF
豆丁网MIT-线性代数笔记（上）