第三講 一元函數微分學的概念與計算

  本章主要介紹了一元函數微分學的概念與計算。

例題三

例3.24 求下列函數所指定階的導數。

（2）$y=x^2\sin2x$，求$y^{(50)}$。

解  因$y=x^2\sin2x$，即$y=(\sin2x)\cdot x^2$，所以
$\begin{aligned} y^{(50)}&=(\sin2x)^{(50)}\cdot x^2+50(\sin2x)^{(49)}\cdot(x^2)'+\cfrac{50\cdot49}{2!}(\sin2x)^{(48)}\cdot(x^2)''\\ &=2^{50}x^2\sin\left(2x+\cfrac{50\pi}{2}\right)+50\cdot2^{49}\cdot2x\sin\left(2x+\cfrac{49\pi}{2}\right)+25\cdot49\cdot2^{48}\cdot2\sin\left(2x+\cfrac{48\pi}{2}\right)\\ &=2^{50}\left(-x^2\sin2x+50x\cos2x+\cfrac{1225}{2}\sin2x\right). \end{aligned}$
（這道題主要利用了複合函數求導求解）

例3.25 設$f(x)=\arctan x$，求$f^{(n)}(0)$。

解  $f'(x)=\cfrac{1}{1+x^2}$，於是$f'(x)(1+x^2)=1$。
  注意到已經有$f'(x)$，兩邊再求$(n-1)$階導數即可得到$f^{(n)}(x)$，故寫出，由萊布尼茲公式，有
$f^{(n)}(x)(1+x^2)+(n-1)f^{(n-1)}(x)\cdot2x+\cfrac{(n-1)(n-2)}{2!}f^{(n-2)}(x)\cdot2=0.$
  令$x=0$，代入上式並化簡，得$f^{(n)}(0)=-(n-1)(n-2)f^{(n-2)}(x)$。由$f(0)=0,f'(0)=1$，得$f^{(2k)}(0)=0,f^{(2k+1)}(0)=(-1)^k(2k)!(k=0,1,2,\cdots)$（這道題主要利用了複合函數求導的方法求解）

新版例題三

例3.4

例3.5

例3.6

新版例題四

例4.16

例4.17

新版習題四

4.8

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