第三讲 一元函数微分学的概念与计算

  本章主要介绍了一元函数微分学的概念与计算。

例题三

例3.24 求下列函数所指定阶的导数。

（2）$y=x^2\sin2x$，求$y^{(50)}$。

解  因$y=x^2\sin2x$，即$y=(\sin2x)\cdot x^2$，所以
$\begin{aligned} y^{(50)}&=(\sin2x)^{(50)}\cdot x^2+50(\sin2x)^{(49)}\cdot(x^2)'+\cfrac{50\cdot49}{2!}(\sin2x)^{(48)}\cdot(x^2)''\\ &=2^{50}x^2\sin\left(2x+\cfrac{50\pi}{2}\right)+50\cdot2^{49}\cdot2x\sin\left(2x+\cfrac{49\pi}{2}\right)+25\cdot49\cdot2^{48}\cdot2\sin\left(2x+\cfrac{48\pi}{2}\right)\\ &=2^{50}\left(-x^2\sin2x+50x\cos2x+\cfrac{1225}{2}\sin2x\right). \end{aligned}$
（这道题主要利用了复合函数求导求解）

例3.25 设$f(x)=\arctan x$，求$f^{(n)}(0)$。

解  $f'(x)=\cfrac{1}{1+x^2}$，于是$f'(x)(1+x^2)=1$。
  注意到已经有$f'(x)$，两边再求$(n-1)$阶导数即可得到$f^{(n)}(x)$，故写出，由莱布尼兹公式，有
$f^{(n)}(x)(1+x^2)+(n-1)f^{(n-1)}(x)\cdot2x+\cfrac{(n-1)(n-2)}{2!}f^{(n-2)}(x)\cdot2=0.$
  令$x=0$，代入上式并化简，得$f^{(n)}(0)=-(n-1)(n-2)f^{(n-2)}(x)$。由$f(0)=0,f'(0)=1$，得$f^{(2k)}(0)=0,f^{(2k+1)}(0)=(-1)^k(2k)!(k=0,1,2,\cdots)$（这道题主要利用了复合函数求导的方法求解）

新版例题三

例3.4

例3.5

例3.6

新版例题四

例4.16

例4.17

新版习题四

4.8

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