第四講 一元函數微分學的幾何應用

例題四

例4.6 設$f(x)$在$[0,+\infty)$內連續，$f'(x)$爲$(0,+\infty)$內的單調增加函數，$f(0)=0$，試討論函數$\cfrac{f(x)}{x}$在$(0,+\infty)$內的增減性。

解  令$g(x)=\cfrac{f(x)}{x}$，則$g'(x)=\cfrac{f'(x)}{x}-\cfrac{f(x)}{x^2}=\cfrac{1}{x^2}[xf'(x)-xf'(\xi)]$，這裏使用了拉格朗日中值定理，其中$0<\xi<x$。因爲$f'(x)$爲$(0,+\infty)$內的單調增加函數，於是$f'(x)>f'(\xi),g'(x)>0$，所以$g(x)=\cfrac{f(x)}{x}$在$(0,+\infty)$內單調增加。

新版例題五

例5.21

新版習題五

5.8

5.13

5.14

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