第四讲 一元函数微分学的几何应用

例题四

例4.6 设$f(x)$在$[0,+\infty)$内连续，$f'(x)$为$(0,+\infty)$内的单调增加函数，$f(0)=0$，试讨论函数$\cfrac{f(x)}{x}$在$(0,+\infty)$内的增减性。

解  令$g(x)=\cfrac{f(x)}{x}$，则$g'(x)=\cfrac{f'(x)}{x}-\cfrac{f(x)}{x^2}=\cfrac{1}{x^2}[xf'(x)-xf'(\xi)]$，这里使用了拉格朗日中值定理，其中$0<\xi<x$。因为$f'(x)$为$(0,+\infty)$内的单调增加函数，于是$f'(x)>f'(\xi),g'(x)>0$，所以$g(x)=\cfrac{f(x)}{x}$在$(0,+\infty)$内单调增加。

新版例题五

例5.21

新版习题五

5.8

5.13

5.14

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