第五講 中值定理

例題五

例5.14 設函數$f(x)$在$[0,1]$上連續，在$(0,1)$內可導，且$f(0)=0,f(1)=1$，證明存在不同的$\xi_1,\xi_2\in(0,1)$，使得$\cfrac{1}{f'(\xi_1)}+\cfrac{1}{f'(\xi_2)}=2$。

證  用$\xi$將劃分爲$[0,\xi],[\xi,1]$。在這兩個區間上分別對$f(x)$使用拉格朗日中值定理，得
$f(\xi)-f(0)=f'(\xi_1)(\xi-0)\Rightarrow\cfrac{1}{f'(\xi_1)}=\cfrac{\xi}{f(\xi)},\xi_1\in(0,\xi),\\ f(1)-f(\xi)=f'(\xi_2)(1-\xi)\Rightarrow\cfrac{1}{f'(\xi_2)}=\cfrac{1-\xi}{1-f(\xi)},\xi_2\in(\xi,1).$
  與欲證等式相比較，只需證$\cfrac{\xi}{f(\xi)}+\cfrac{1-\xi}{1-f(\xi)}=2$即可，於是可取$f(\xi)=\cfrac{1}{2}$，則$\cfrac{\xi}{f(\xi)}+\cfrac{1-\xi}{1-f(\xi)}=2(\xi+1-\xi)=2.$

例5.16 設函數$f(x)$在$[a,b]$上連續，在$(a,b)$內可導，且$0\leqslant a<b\leqslant\cfrac{\pi}{2}$，證明存在$\xi,\eta\in(a,b)$，使得$f'(\eta)\tan\cfrac{a+b}{2}=f'(\xi)\cfrac{\sin\eta}{\cos\xi}$。

證  令$g(x)=\sin x$，於是在$[a,b]$上對$f(x),g(x)$使用柯西中值定理，存在$\xi\in(a,b)$，使得
$\cfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\cfrac{f'(\xi)}{\cos\xi}=\cfrac{f(b)-f(a)}{\sin b-\sin a}.\tag{1}$
  令$h(x)=-\cos x$，於是在$[a,b]$上對$f(x),h(x)$使用柯西中值定理，存在$\eta\in(a,b)$，使得
$\cfrac{f'(\eta)}{h'(\eta)}=\cfrac{f'(\eta)}{\cos\eta}=\cfrac{f(b)-f(a)}{-\cos b+\cos a}.\tag{2}$
  由$(1)/(2)$，有$\cfrac{f'(\xi)}{\cos\xi}/\cfrac{f'(\eta)}{\cos\eta}=\cfrac{\cos a-\cos b}{\sin b-\sin a}=\cfrac{-2\sin\cfrac{a+b}{2}\sin\cfrac{a-b}{2}}{2\cos\cfrac{a+b}{2}\sin\cfrac{b-a}{2}}=\tan\cfrac{a+b}{2}$，命題得證。

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