線性方程定理

關注我的公衆號c137Lab獲取更多相關內容

線性方程定理

線性方程定理

​ 設 $a$ 與 $b$ 是非零整數，$g=gcd(a,b)$ 方程
$ax+by=g$
總有一個整數解 $(x_1,y_1)$，它可由歐幾里得算法得到。則方程中的每一個解可由
$(x_1+k\cdot \frac{b}{g},y_1-k\cdot \frac{a}{g})$
得到，其中 $k$ 爲任意整數.

使用歐幾里得算法求解 $ax+by=gcd(a,b)$ 的步驟如下

我們將歐幾里得定理寫成如下表形式（左邊爲歐幾里得定理，右邊爲計算線性方程的解）：

以此遞推，陸續得到一個如下形式的等式：
$最新餘數=a的倍數+b的倍數$
最終得到的非零餘數等於 $gcd(a,b)$ ，這就給出了方程的整數解。

舉例計算：
$60x+22y=gcd(60,22)$
使用歐幾里得定理：

則 $(-4,11)$ 爲方程的一個整數解。

接下來證明定理的第二部分：

證明：方程的 $ax+by=g$ 的通解可以由其中一個特解得出

將方程左右兩端除以 $g$：
$\frac{a}{g}x+\frac{b}{g}y=1$
假設$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ 是方程的兩個解，則有
$\frac{a}{g}x_1+\frac{b}{g}y_1=1,\quad\frac{a}{g}x_2+\frac{b}{g}y_2=1$
用 $y_1$乘以第二個方程，用 $y_2$乘以第一個方程，再做差就可以消去 $b$：
$\frac{a}{g}x_1y_2-\frac{a}{g}x_2y_1=y_2-y_1$
同理，用 $x_1$ 乘以第二個方程，用 $x_2$乘以第一個方程可以消去 $a$：
$\frac{b}{g}x_2y_1-\frac{b}{g}x_1y_2=x_2-x_1$

令 $k=x_2y_1-x_1y_2$ 得到：
$x_2=x_1+k\frac{b}{g},\quad y_2=y_1-k\frac{a}{g}$
上式表示 $(x_2,y_2)$ 可由 $(x_1,y_1)$得到

接下來使用代碼實現這一算法：

def linear_equ(a, b):
    if a == 0 or b == 0:
        return -1
    else:
        g, w = a, b
        x, v = 1, 0

        while w != 0:
            t = g % w
            s = x - (g // w) * v
            x, g = v, w
            v, w = s, t

        y = (g - a * x) // b
        return g, x, y

參考文獻：A Brief Introduction to Number Theory --Joseph H.Silverman