线性方程定理

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线性方程定理

线性方程定理

​ 设 $a$ 与 $b$ 是非零整数，$g=gcd(a,b)$ 方程
$ax+by=g$
总有一个整数解 $(x_1,y_1)$，它可由欧几里得算法得到。则方程中的每一个解可由
$(x_1+k\cdot \frac{b}{g},y_1-k\cdot \frac{a}{g})$
得到，其中 $k$ 为任意整数.

使用欧几里得算法求解 $ax+by=gcd(a,b)$ 的步骤如下

我们将欧几里得定理写成如下表形式（左边为欧几里得定理，右边为计算线性方程的解）：

以此递推，陆续得到一个如下形式的等式：
$最新余数=a的倍数+b的倍数$
最终得到的非零余数等于 $gcd(a,b)$ ，这就给出了方程的整数解。

举例计算：
$60x+22y=gcd(60,22)$
使用欧几里得定理：

则 $(-4,11)$ 为方程的一个整数解。

接下来证明定理的第二部分：

证明：方程的 $ax+by=g$ 的通解可以由其中一个特解得出

将方程左右两端除以 $g$：
$\frac{a}{g}x+\frac{b}{g}y=1$
假设$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ 是方程的两个解，则有
$\frac{a}{g}x_1+\frac{b}{g}y_1=1,\quad\frac{a}{g}x_2+\frac{b}{g}y_2=1$
用 $y_1$乘以第二个方程，用 $y_2$乘以第一个方程，再做差就可以消去 $b$：
$\frac{a}{g}x_1y_2-\frac{a}{g}x_2y_1=y_2-y_1$
同理，用 $x_1$ 乘以第二个方程，用 $x_2$乘以第一个方程可以消去 $a$：
$\frac{b}{g}x_2y_1-\frac{b}{g}x_1y_2=x_2-x_1$

令 $k=x_2y_1-x_1y_2$ 得到：
$x_2=x_1+k\frac{b}{g},\quad y_2=y_1-k\frac{a}{g}$
上式表示 $(x_2,y_2)$ 可由 $(x_1,y_1)$得到

接下来使用代码实现这一算法：

def linear_equ(a, b):
    if a == 0 or b == 0:
        return -1
    else:
        g, w = a, b
        x, v = 1, 0

        while w != 0:
            t = g % w
            s = x - (g // w) * v
            x, g = v, w
            v, w = s, t

        y = (g - a * x) // b
        return g, x, y

参考文献：A Brief Introduction to Number Theory --Joseph H.Silverman