P1627 [CQOI2009]中位數 題解

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簡要題意：

給定一個 $1$ ~ $n$ 的排列，求以 $b$ 爲中位數的 連續子序列且長度爲奇數 的個數。

顯然這段序列包含 $b$.

中位數的定義：排序後在最中間的數。

算法一

對於 $30 \%$ 的數據，$n \leq 100$.

由於這段序列一定包含 $b$，那麼我們可以枚舉區間 $[i,j]$ 包含 $b$（有類似於雙指針），然後單獨取出 $[i,j]$ 這段進行排序，暴力判斷即可。

時間複雜度：$O(n^3 \log n)$.

實際得分：$30pts$.

算法二

對於 $60 \%$ 的數據，$n \leq 1000$.

顯然我們不需要每次都把 $[i,j]$ 這段取出，可以一次次擴展。

比方說枚舉 $i$ （從 $d$ 到 $1$，$d$ 是 $b$ 的位置），然後枚舉 $j$ 從 $d$ 到 $n$. 對於每個 $j$，只需在原來數組的基礎上添上一個 $a_j$ 即可；如果 $j=n$ 的話，添加之後要把數組清空。

那麼每次只需要插入一個數的話，我們可以用 插入排序，因爲已經排序的是有序的，因爲插入的位置可以用二分算出。插入操作我們不用數組維護，用 $\text{vector}$ 維護會方便很多。

時間複雜度：$O(n^2 \log n)$.

實際得分：$60pts$.

算法三

對於 $60 \%$ 的數據，$n \leq 1000$.

拋開排序過程，我們想：因爲排列的性質，不存在重複數。所以，一個連續序列的中位數爲 $b$ 當且僅當比 $b$ 大的數的個數和比 $b$ 小的數的個數相等。 那麼，對於 $d$ 的左邊，線性 $\text{dp}$ ，用 $f_i$ 表示 $i$ ~ $d$ 比 $i$ 大的數的個數，$g_i$ 是小的，同理 $d$ 的右邊也推一遍。

那麼，我們枚舉左右端點 $i,j$ 只需要 $O(1)$ 判斷即可。即 $f_i + g_i = f_j + g_j$.

時間複雜度：$O(n^2)$.

實際得分：$60pts$.

算法四

對於 $60 \%$ 的數據，$n \leq 1000$.

從算法三的 $\text{dp}$ 上入手，我們發現，$f_i + g_i = f_j + g_j$ 等價於 $f_i - f_j = g_i - g_j$. 所以我們只需要算出 比 $b$ 大的數的個數與比 $b$ 小的數的個數之差 重新作爲 $f$ 數組的狀態，然後枚舉端點即可。

時間複雜度：$O(n^2)$.

實際得分：$60pts$.

算法五

對於 $100 \%$ 的數據，$n \leq 10^5$.

從算法四上再優化一下，其實對於固定的一個左端點 $i$，我們只需要算出有多少個 $j \geq d$ 且 $f_i = f_j$ 即可。

也就是說，我們需要維護 區間查詢相等個數。

智商不夠，數據結構來湊。所以這個查詢我們可以用 $\text{Treap}$ 或者 $\text{Splay}$ 來實現。（隨便用個平衡樹板子都能實現的）

時間複雜度：$O(n \log n)$.

實際得分：$100pts$.

算法六

對於 $100 \%$ 的數據，$n \leq 10^5$.

從算法五上入手，你發現 區間查詢相等個數 是靜態查詢，不需要修改。那你可以用 權值線段樹（主席樹） 解決本題。

時間複雜度：$O(n \log n)$.

實際得分：$100pts$.

算法七

對於 $100 \%$ 的數據，$n \leq 10^5$.

在算法六的基礎上，你發現不僅是靜態，而且是固定的一個區間 $[d,n]$. 那麼我們不需要用 權值線段樹（可以理解爲 $n$ 棵線段樹），只需要 $1$ 棵線段樹即可。

時間複雜度：$O(n \log n)$.

實際得分：$100pts$.

算法八

對於 $100 \%$ 的數據，$n \leq 10^5$.

如果你的程序在算法七止步不前，只能說明你是個天才，離最後的成功只差幾步了。

固定區間維護靜態相等個數，聽上去很高大上啊，其實不就是個 $\text{map}$ 嗎？

某同學：我還能 %$#^%*(%&))

嗯，改成 $\text{map}$ 之後感覺簡單多了，是不是？然後我們直接省去 $f$ 數組，直接存入 $\text{map}$.

時間複雜度：$O(n \log n)$.

實際得分：$100pts$.

//爲了看起來清晰 , 用了嵌套三目運算符
// q[tot+=((a[i]>b)?1:(a[i]<b)?-1:0)]++; 其實相當於這幾句：
// if(a[i]>b) tot++; 
// if(a[i]<b) tot--;
// q[tot]++;
#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N=1e5+1;

inline int read(){char ch=getchar();int f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	int x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}

int n,b,wz,a[N];
int tot,sum; ll ans=0;
map<int,int> q;

int main(){
	n=read(),b=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read(),wz=(a[i]==b)?i:wz;
	for(int i=wz;i<=n;i++) q[tot+=((a[i]>b)?1:(a[i]<b)?-1:0)]++;
	for(int i=wz;i>=1;i--) ans+=q[0-(sum+=(a[i]>b)?1:((a[i]<b)?-1:0))];
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

算法九

對於 $200 \%$ 的數據，$n \leq 10^7$.

（實際上是本人的一個加強）

算法八的基礎上，我們可以嘗試拿掉這個 $\log$.

但是你很快發現下標雖然不超過 $10^7$，但是會有負數，可能有 $-10^7$.

顯然，哈希處理負下標 是這題的最終正解。

把每個下標都加上 $n$，解決負下標之後 $O(1)$ 查詢，拿掉 $\text{map}$ 還解決了 $\log$.

時間複雜度：$O(n)$.

實際得分：$200pts$.