功率譜估計（一）— BT法與週期圖法（附Mtalab代碼）

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1.前言

經典功率譜估計基於傅里葉變換的思想，典型代表爲BT法和週期圖法。

2.自相關函數

理論上求一個隨機信號的自相關函數應該使用下面這個公式：$R(s,t) = E[X(s)x(t)]\quad$

但在實際應用中，我們只能得到一個隨機信號有限長度的樣本函數。

如果一個隨機信號是均方遍歷的，我們就可以用樣本函數的時間自相關代替該隨機信號的自相關函數，如下式：
（式1）

理論上只要樣本函數無限長，兩者就完全相等，但實際應用中我們只能得到有限長樣本函數，所以用樣本函數的時間自相關去近似隨機信號的自相關函數是有誤差的，但只要誤差在容許範圍內，這就是一個很好的近似。

如果m和N都比較大，上式運算量很大，如何減小運算量，實現自相關函數的快速計算？

這就是我之前文章講過的，用$FFT$，具體請移步還在按部就班的算信號自相關？FFT讓你體驗飛一般的感覺！

3.BT法進行功率譜估計

對上面所求得的$\hat{r} \left( m \right)$做傅里葉變換，即：$\hat{S_{BT}} \left( w \right) = \sum_{-M}^{M} \hat{r} \left( m \right )e^{jwm}\quad \left | m \right|\leq N-1$

以上式爲結果作爲對真實功率譜$S \left( w \right)$的估計，BT法也稱爲間接法。

注：一般情況下，$M<N$。

4.週期圖法

週期圖法又稱爲直接法，對式1兩邊直接求傅里葉變換，1式右邊是兩個信號卷積，時域相卷，頻域相乘，所以我們可以得到週期圖法表達式：$\hat{S_{PRE}} \left( w \right) = \frac{1}{N}\left | U_N \left( w \right ) \right |^{2}$

其中$U_N \left( w \right ) = \sum_{n=0}^{N-1}u_N \left( n \right )e^{-jwn}$，這也是週期圖法被叫做直接法的原因，它是直接觀察數據的傅里葉變換求得的。

5.兩者的聯繫與區別

BT法實質是在週期圖法法的基礎上加了一個矩形窗，即BT法是對週期圖法法平滑，平滑使得BT法的方差小於週期圖法，但分辨率下降。

6.$Matlab$仿真結果

圖2 週期圖法與BT法估計出的信號功率譜 （N=256，M=64）

可以看到週期圖法發分辨率要明顯好於BT法，但同時起伏也更大。

7.$Matlaba$代碼

下載代碼請移步BT法和週期圖法。