一、Bursa模型簡介

模型簡介百度即可，這裏不做介紹，因爲不是自己整理的。

二、Bursa模型的推導

2.1 Bursa座標轉換模型

${\left[ \begin{matrix} X\\ Y\\ Z \end{matrix} \right]}_C ={\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & -Z_D & Y_D & X_D\\ 0 & 1 & 0 & Z_D & 0 & -X_D & Y_D\\ 0 & 0 & 1 & -Y_D & X_D & 0 & Z_D \end{matrix} \right]} {\left[ \begin{matrix} T_X\\ T_Y\\ T_Z\\ \varepsilon_X\\ \varepsilon_Y\\ \varepsilon_Z\\ m \end{matrix} \right]} + {\left[ \begin{matrix} X\\ Y\\ Z \end{matrix} \right]}_D\tag{1}$

2.3 建立間接平差模型

設有 $N$ 個重合點，七個參數看作必要觀測數 $t=7$ ，其中總觀測數爲 $n=3N$ ，多餘觀測數 $r=n-t$ 。由此關係可知，至少需要3個點才能完成結算。根據間接平差模型，列出誤差方程爲：

${\left[ \begin{matrix} V_{X_1}\\ V_{Y_1}\\ V_{Z_1}\\ \vdots \\ V_{X_N}\\ V_{Y_N}\\ V_{Z_N} \end{matrix} \right]}_C ={\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & -Z_{D_1} & Y_{D_1} & X_{D_1}\\ 0 & 1 & 0 & Z_{D_1} & 0 & -X_{D_1} & Y_{D_1}\\ 0 & 0 & 1 & -Y_{D_1} & X_{D_1} & {0} & Z_{D_1}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \\ 1 & 0 & 0 & 0 & -Z_{D_N} & Y_{D_N} & X_{D_N}\\ 0 & 1 & 0 & Z_{D_N} & 0 & -X_{D_N} & Y_{D_N}\\ 0 & 0 & 1 & -Y_{D_N} & X_{D_N} & {0} & Z_{D_N} \end{matrix} \right]} {\left[ \begin{matrix} T_X\\ T_Y\\ T_Z\\ \varepsilon_X\\ \varepsilon_Y\\ \varepsilon_Z\\ m \end{matrix} \right]}- {\left[ \begin{matrix} {X_1}\\ {Y_1}\\ {Z_1}\\ \vdots \\ {X_N}\\ {Y_N}\\ {Z_N} \end{matrix} \right]}_C + {\left[ \begin{matrix} {X_1}\\ {Y_1}\\ {Z_1}\\ \vdots \\ {X_N}\\ {Y_N}\\ {Z_N} \end{matrix} \right]}_D\tag{2}$

將(2)上式簡化爲新的矩陣形式爲：

$V = B \hat X -L \tag{3}$

然後利用最小二乘法來求解座標轉換參數，這種方法利用了所有的公共點，可以得到較好的結果，但是由於將每個點的座標精度都視爲精度相同的觀測值，所以得到是一種近似的結果。因此，各點的座標視爲同精度獨立觀測值，P爲單位矩陣，則可由(3)式得到：

$\hat X = (B^T B)^{-1}(B^T L)\tag{4}$

精度評定，其單位權中誤差爲：

$\sigma _0 = \sqrt{\frac{V^T PV}{n-t}}\tag{5}$

注意

需要將旋轉參數 $\varepsilon _X$ 、 $\varepsilon _Y$ 和 $\varepsilon _Z$ 的單位爲弧度，要將其轉換到秒；尺度參數m單位換位“ppm”，ppmpart per million 百萬分之……。
具體計算公式爲：將旋轉角乘以206265即可換爲“s”，將尺度參數乘以1000000單位即爲 “ppm”。

$1弧度(rad) = 206264.8062471秒$

七參數	單位
$T_X$	$m$
$T_Y$	$m$
$T_Z$	$m$
$\varepsilon _X$	$s$
$\varepsilon _Y$	$s$
$\varepsilon _Z$	$s$
$m$	$ppm$

2.4 非重合點的座標轉換

利用求得的七參數，將數據代入即可解得轉換後的座標。

精度評定：無法像重合點那樣可以利用原有的座標與轉換的座標來計算殘差。此時可利用配置法，將重合點的轉換值改正數作爲已知值，然後對非公共點進行配置，具體的方法爲：

①計算重合點轉換值得改正數，其重合點的座標採用已知值。

$V = 已知值-轉換值\tag{6}$

②採用配置可計算出非公共點轉換值的改正數。

$V' = \frac{\sum_{1}^n{P_i V_i}}{\sum_{1}^n{P_i}}\tag{7}$

$n$ 爲選擇重合點的個數，根據非重合點與重合點的距離來定權，其權爲：

$P_i = \frac {1} {S_i^2}\tag 8$

三、程序的實現

# 忽略煩人的紅色提示
import warnings
warnings.filterwarnings("ignore")

# 導入Python的數據處理庫pandas，相當於python裏的excel
import pandas as pd

# 導入python繪圖matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt

# 使用ipython的魔法方法，將繪製出的圖像直接嵌入在notebook單元格中
%matplotlib inline

# 設置繪圖大小
plt.style.use({'figure.figsize':(25,20)})
plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']  # 用來正常顯示中文標籤  
plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False  # 用來正常顯示負號

3.1 座標的導入

# 讀取CGCS2000座標系下的座標
cc = pd.read_csv('new.csv')
# 查看座標
cc

	點號	X	Y	Z
0	GPS04	-1964642.836	4484908.586	4075486.898
1	GPS30	-1967082.716	4490541.646	4068048.151
2	GPS18	-1958106.370	4482074.179	4082054.321
3	GPS22	-1958396.995	4485396.445	4077966.297
4	GPS27	-1953364.459	4481502.655	4084942.265
5	GPS26	-1957928.755	4492765.305	4070011.563

import numpy as np
np.set_printoptions(suppress=True)
C_XYZ = np.empty((0,3))
for index,row in cc.iterrows():
    pd.set_option('precision', 4) 
    C_x = row['X']
    C_y = row['Y']
    C_z = row['Z']
    C_xyz = np.array([[C_x,C_y,C_z]])
    C_XYZ = np.append(C_XYZ,C_xyz,axis=0)
print(C_XYZ)

[[-1964642.836  4484908.586  4075486.898]
 [-1967082.716  4490541.646  4068048.151]
 [-1958106.37   4482074.179  4082054.321]
 [-1958396.995  4485396.445  4077966.297]
 [-1953364.459  4481502.655  4084942.265]
 [-1957928.755  4492765.305  4070011.563]]

# 讀取地方座標系下的座標
dd = pd.read_csv('old.csv')
# 查看信息
print(dd.shape)
dd

(6, 4)

	點號	X	Y	Z
0	GPS04	-1.9647e+06	4.4848e+06	4.0754e+06
1	GPS30	-1.9672e+06	4.4904e+06	4.0679e+06
2	GPS18	-1.9582e+06	4.4819e+06	4.0820e+06
3	GPS22	-1.9585e+06	4.4853e+06	4.0779e+06
4	GPS27	-1.9535e+06	4.4814e+06	4.0848e+06
5	GPS26	-1.9580e+06	4.4926e+06	4.0699e+06

import numpy as np
D_XYZ = np.empty((0,3))
for index,row in dd.iterrows():
    pd.set_option('precision', 4) 
    D_x = row['X']
    D_y = row['Y']
    D_z = row['Z']
    D_xyz = np.array([[D_x,D_y,D_z]])
    D_XYZ = np.append(D_XYZ,D_xyz,axis=0)
print(D_XYZ)

[[-1964734.964  4484768.547  4075386.77 ]
 [-1967174.802  4490401.508  4067948.166]
 [-1958198.61   4481934.193  4081954.089]
 [-1958489.229  4485256.399  4077866.134]
 [-1953456.789  4481362.679  4084841.963]
 [-1958020.995  4492625.151  4069911.537]]

3.2 解算七參數

$\hat X = (B^T B)^{-1}(B^T L)\tag{4}$

L = []
B = np.empty((0,7))
for i in range(D_XYZ.shape[0]):
    # 提取元素
    X_C = C_XYZ[i][0]
    Y_C = C_XYZ[i][1]
    Z_C = C_XYZ[i][2]
    X_D = D_XYZ[i][0]
    Y_D = D_XYZ[i][1]
    Z_D = D_XYZ[i][2]
    # 構建L矩陣
    L.extend((X_C - X_D,Y_C - Y_D,Z_C - Z_D))
    #L = np.append(L,LL,axis=1)
    # 構建B矩陣
    b1 = np.array([1,0,0,0,-Z_D,Y_D,X_D])
    b2 = np.array([0,1,0,Z_D,0,-X_D,Y_D])
    b3 = np.array([0,0,1,-Y_D,X_D,0,Z_D])
    BB = np.row_stack((b1,b2,b3))
    B = np.append(B,BB,axis=0)
B = B
L = np.array([L]).T
# print("L矩陣爲：\n",L)
# print("B矩陣爲：\n",B)

a = np.linalg.inv(np.dot(B.T,B))
b = np.dot(B.T,L)
# 求取僞七參數
x = np.dot(a,b)
print("解算的七參數爲：")
print("X平移參數：{} m".format(x[0][0]))
print("Y平移參數：{} m".format(x[1][0]))
print("Z平移參數：{} m".format(x[2][0]))
print("X旋轉參數：{} s".format(x[3][0]* 206265))
print("Y旋轉參數：{} s".format(x[4][0]* 206265))
print("Z旋轉參數：{} s".format(x[5][0]* 206265))
print("m尺度參數：{} ppm".format(x[6][0]* 1000000))

解算的七參數爲：
X平移參數：121.62369966506958 m
Y平移參數：55.88656985759735 m
Z平移參數：31.898368503898382 m
X旋轉參數：0.18627551317509372 s
Y旋轉參數：-0.06667437699100276 s
Z旋轉參數：0.17122195111095806 s
m尺度參數：17.579272022061332 ppm

3.3 重合點精度評定

$V = B \hat X -L \tag{3}$

$\sigma _0 = \sqrt{\frac{V^T PV}{n-t}}\tag{5}$

V = np.dot(B,x)-L
print(V)

[[-0.00272118]
 [-0.0020901 ]
 [-0.00234788]
 [-0.0013403 ]
 [-0.00675914]
 [ 0.00558849]
 [-0.00004679]
 [ 0.00158902]
 [ 0.00954763]
 [ 0.00228071]
 [-0.00345956]
 [ 0.00377805]
 [-0.00622995]
 [ 0.000214  ]
 [-0.01070229]
 [ 0.00805748]
 [ 0.01050535]
 [-0.00586396]]

import math
xx = math.sqrt(np.dot(V.T,V)/(3*D_XYZ.shape[0]-7))
print(xx)

0.007287575001997314

3.4 非重合點的轉換

# 讀取地方座標系下的座標
ddno = pd.read_csv('oldno.csv')
# 查看信息
print(ddno.shape)
ddno

(5, 4)

	點號	X	Y	Z
0	GPS21	-1.9545e+06	4.4903e+06	4.0742e+06
1	GPS17	-1.9520e+06	4.4853e+06	4.0811e+06
2	GPS29	-1.9569e+06	4.4974e+06	4.0652e+06
3	GPS25	-1.9519e+06	4.4949e+06	4.0704e+06
4	GPS28	-1.9535e+06	4.5010e+06	4.0629e+06

import numpy as np
DN_XYZ = np.empty((0,3))
for index,row in ddno.iterrows():
    pd.set_option('precision', 4) 
    Dno_x = row['X']
    Dno_y = row['Y']
    Dno_z = row['Z']
    DN_xyz = np.array([[Dno_x,Dno_y,Dno_z]])
    DN_XYZ = np.append(DN_XYZ,DN_xyz,axis=0)
print(DN_XYZ.shape)

(5, 3)

for i in range(DN_XYZ.shape[0]):
    # 提取元素
    XN_D = DN_XYZ[i][0]
    YN_D = DN_XYZ[i][1]
    ZN_D = DN_XYZ[i][2] 
    LN = np.row_stack((XN_D,YN_D,ZN_D))
    # 構建L矩陣
    # 構建B矩陣
    bn1 = np.array([1,0,0,0,-ZN_D,YN_D,XN_D])
    bn2 = np.array([0,1,0,ZN_D,0,-XN_D,YN_D])
    bn3 = np.array([0,0,1,-YN_D,XN_D,0,ZN_D])
    BN = np.row_stack((b1,b2,b3))
    NCC = np.dot(BN,x) + LN
    print('第{}個點的座標爲：{},{},{}'.format(i,NCC[0][0],NCC[1][0],NCC[2][0]))

第0個點的座標爲：-1954403.217942523,4490401.535505347,4074332.8511360423
第1個點的座標爲：-1951867.9859425232,4485404.294505347,4081154.3441360416
第2個點的座標爲：-1956813.4649425233,4497507.388505346,4065328.6971360417
第3個點的座標爲：-1951778.264942523,4495070.800505347,4070465.314136042
第4個點的座標爲：-1953427.302942523,4501107.370505347,4062974.232136042

3.5 非重合點的精度評定

3.5.1 定權

$V' = \frac{\sum_{1}^n{P_i V_i}}{\sum_{1}^n{P_i}}\tag{7}$

$P_i = \frac {1} {S_i^2}\tag 8$

aa = list(range(0,V.shape[0],3))
bb = list(range(1,V.shape[0],3))
cc = list(range(2,V.shape[0],3))
# 已知點的x殘差
v_x = V[aa,:]
# 已知點的y殘差
v_y = V[bb,:]
# 已知點的z殘差
v_z = V[cc,:]
v_x.shape

(6, 1)

V_xx,V_yy,V_zz = [],[],[]
for i in range(DN_XYZ.shape[0]):
    # 提取元素
    XN_D = DN_XYZ[i][0]
    YN_D = DN_XYZ[i][1]
    ZN_D = DN_XYZ[i][2]
    LC = np.row_stack((XN_D,YN_D,ZN_D))
    # 定權
    PP = np.dot(D_XYZ,LC).T
    ccc = []
    for j in range(PP.shape[1]):
        ccc.append(1/PP[0][j])
    # 公式(7)
    VV_S = sum(ccc)
    print(VV_S)
    V_x = np.dot(np.array([ccc]),v_x)[0][0] / VV_S
    V_y = np.dot(np.array([ccc]),v_y)[0][0] / VV_S
    V_z = np.dot(np.array([ccc]),v_z)[0][0] / VV_S
    V_xx.append(V_x)
    V_yy.append(V_y)
    V_yy.append(V_z)
    print("非重合點GPS{}的殘差V_x{}  V_y{}  V_z{} ".format(i+1,V_x,V_y,V_z))

1.478477870203965e-13
非重合點GPS1的殘差V_x2.621759300967811e-08  V_y-8.17546918711022e-08  V_z1.1506213912802006e-08 
1.478462584622879e-13
非重合點GPS2的殘差V_x3.02685943659054e-08  V_y-8.170440346251001e-08  V_z1.3431354650058274e-08 
1.4784816011772054e-13
非重合點GPS3的殘差V_x2.0702207439612064e-08  V_y-8.220030115808458e-08  V_z9.309236986800881e-09 
1.4784765461761397e-13
非重合點GPS4的殘差V_x2.3313321582638324e-08  V_y-8.337122325453742e-08  V_z1.190322739292841e-08 
1.4784846884028183e-13
非重合點GPS5的殘差V_x1.8683221941032832e-08  V_y-8.387564655386071e-08  V_z1.0205456918699615e-08

3.5.2 精度評定

# X的中誤差
S = 0
for i in V_xx:
    S += i*i
VXX = math.sqrt(S/(len(V_xx)-1))
print("空間直角座標X殘差中誤差",VXX)
# Y的中誤差
S = 0
for i in V_yy:
    S += i*i
VYY = math.sqrt(S/(len(V_yy)-1))
print("空間直角座標Y殘差中誤差",VYY)
# Z的中誤差
S = 0
for i in V_zz:
    S += i*i
VZZ = math.sqrt(S/(len(V_zz)-1))
print("空間直角座標Z殘差中誤差",VZZ)
# 點位中誤差
print("空間直角座標點位中誤差",math.sqrt(VXX**2 + VYY**2 + VZZ**2))

空間直角座標X殘差中誤差 2.7040271477441625e-08
空間直角座標Y殘差中誤差 6.21356115133806e-08
空間直角座標Z殘差中誤差 -0.0
空間直角座標點位中誤差 6.776437485667154e-08

基於Bursa模型的七參數空間三維座標轉換

一、Bursa模型簡介

二、Bursa模型的推導

2.1 Bursa座標轉換模型

2.3 建立間接平差模型

注意

2.4 非重合點的座標轉換

三、程序的實現

3.1 座標的導入

3.2 解算七參數

3.3 重合點精度評定

3.4 非重合點的轉換

3.5 非重合點的精度評定

3.5.1 定權

3.5.2 精度評定

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