最小二乘法求解平面座標轉換四參數

四參數的轉換公式爲：

$\begin{bmatrix} x_{2}\\ y_{2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \Delta x\\ \Delta y \end{bmatrix}+ m\begin{bmatrix} cos\alpha &-sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1}\\ y_{1} \end{bmatrix}$

構造條件方程：

$\begin{bmatrix} x_{2}\\ y_{2} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} x_{1}\\ y_{1} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \Delta x\\ \Delta y \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} mcos\alpha &-msin\alpha \\ msin\alpha & mcos\alpha \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1}\\ y_{1} \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1}\\ y_{1} \end{bmatrix}\Rightarrow$

$\begin{bmatrix} x_{2}\\ y_{2} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} x_{1}\\ y_{1} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \Delta x\\ \Delta y \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} mcos\alpha -1 &-msin\alpha \\ msin\alpha & mcos\alpha -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1}\\ y_{1} \end{bmatrix}$

設 = mcosa-1, b=msina,有:

$\begin{bmatrix} x_{2}\\ y_{2} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} x_{1}\\y_{1} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \Delta x\\ \Delta y\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a & -b\\ b & a \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1}\\ y_{1} \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} x_{2}\\ y_{2} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} x_{1}\\y_{1} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \Delta x\\ \Delta y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} x_{1} & -y_{1}\\ y_{1} & x_{1} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a\\b \end{bmatrix}$

等價表達：

$\begin{bmatrix} x_{2}\\ y_{2} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} x_{1}\\y_{1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0&x_{1}&-y_{1}\\0&1&y_{1}&x_{1} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \Delta x \\ \Delta y \\a\\b\end{bmatrix}$

其中， $Li=\begin{bmatrix} x_{2i}\\ y_{2i} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} x_{1i}\\y_{1i} \end{bmatrix}$ ， $Bi=\begin{bmatrix} 1 &0& x_{1i} &-y_{1i} \\ 0 &1 &y_{1i} & x_{1i} \end{bmatrix}$ , $X=\begin{bmatrix} \Delta x\\ \Delta y \\ a \\ b\end{bmatrix}$

即：

$L=\begin{bmatrix} x_{21}-x_{11}\\ y_{21} -y_{11}\\...\\ x_{2i}-x_{1i}\\ y_{2i} -y_{1i}\\ ...\\ x_{2n}-x_{1n}\\ y_{2n} -y_{1n} \end{bmatrix}$ , $B=\begin{bmatrix} 1 &0& x_{11} &-y_{11} \\ 0 &1 &y_{11} & x_{11} \\ &&... \\ 1 &0& x_{1i} &-y_{1i} \\ 0 &1 &y_{1i} & x_{1i} \\ &&...\\ 1 &0& x_{1n} &-y_{1n} \\ 0 &1 &y_{1n} & x_{1n} \\ \end{bmatrix}$ , $X=\begin{bmatrix} \Delta x\\ \Delta y \\ a \\ b\end{bmatrix}$ ， $P=\begin{bmatrix} 1& 0 &0 &0 \\ 0 & 1 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 1&0 \\ 0 &0 &0 & 1 \end{bmatrix}$

根據最小二乘原理計算X：

解得X後，可知和，可解得m和α：

$\left\{\begin{matrix}a = m\cos \alpha-1\\ b = m\sin \alpha \end{matrix}\right \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sin \alpha/\cos \alpha = b/(a +1) \\ (a+1)^2 + b^2 = m^2(\cos ^2 \alpha +\sin^2 \alpha) \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \alpha = \arctan[b/(a+1)] \\ m = \sqrt{(a+1)^2+b^2} \end{matrix}\right.$

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