高等數學張宇18講 第十講 多元函數微分學

例題十

例10.3  設$z=f(x,y)=\begin{cases}(x^2+y^2)\sin\cfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}},&x^2+y^2\ne0,\\0,&x^2+y^2=0,\end{cases}$則下列四個結論中，
（1）$f(x,y)$在$(0,0)$處連續；
（2）$f'_x(0,0),f'_y(0,0)$存在；
（3）$f'_x(x,y),f'_y(x,y)$在$(0,0)$處連續；
（4）$f(x,y)$在$(0,0)$處可微。
正確的結論的個數爲
$(A)1;$
$(B)2;$
$(C)3;$
$(D)4.$

解  對於結論（3），當$(x,y)\ne(0,0)$時，用公式法求，
$\begin{aligned} f'_x(x,y)&=2x\sin\cfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}+(x^2+y^2)\cos\cfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\cdot\left[-\cfrac{1}{2}\cdot\cfrac{2x}{\sqrt{(x^2+y^2)^3}}\right]\\ &=2x\sin\cfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}-\cfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\cos\cfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}. \end{aligned}$
  因爲當$(x,y)\ne(0,0)$時，$2x\sin\cfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\to0,\cfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\cos\cfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$不存在，故$\lim\limits_{(x,y)\to0}f'_x(x,y)$不存在，所以，$f'_x(x,y)$在$(0,0)$處不連續。同理，$f'_y(x,y)$在$(0,0)$處也不連續，所以結論（3）不成立。
  對於結論（4），
$\Delta z=f(0+\Delta x,0+\Delta y)-f(0,0)=[(\Delta x)^2+(\Delta y)^2]\cdot\sin\cfrac{1}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}=\rho^2\sin\cfrac{1}{\rho},\\ \lim\limits_{\Delta x\to0,\Delta y\to0}\cfrac{\Delta z-f'_x(0,0)\Delta x-f'_y(0,0)\Delta y}{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}=\lim\limits_{\rho\to0}\cfrac{\rho^2\sin\cfrac{1}{\rho}}{\rho}=\lim\limits_{\rho\to0}\rho\sin\cfrac{1}{\rho}=0,$
  其中$\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$。故$f(x,y)$在$(0,0)$處可微，所以結論（4）成立。
  故應選$(C)$。（這道題主要利用了可微和偏導連續的判定求解）

例10.16  求函數$f(x,y)=x^4+y^4-(x+y)^2$的極值。

解
$\begin{cases} f'_x=4x^2-2(x+y)=0,\\ f'_y=4y^2-2(x+y)=0; \end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=-1,\\y=-1;\end{cases}\begin{cases}x=0,\\y=0;\end{cases}\begin{cases}x=1,\\y=1;\end{cases}$
  即得駐點$P_1(-1,-1),P_2(0,0),P_3(1,1)$。又
$A=f''_{xx}=12x^2-2,\quad B=f''_{xy}=-2,\quad C=f''_{yy}=12y^2-2;$
  $B^2-AC|_{P_1}=(-2)^2-10\cdot10=-96<0$，且$A|_{P_1}>0$，故$f(-1,-1)=-2$是極小值。
  $B^2-AC|_{P_2}=<0$，故$P_2(0,0)$點的極值情況無法由二階導數的充分性定理判別。由於$f(x,y)=x^4+y^4-(x+y)^2$，則在$(0,0)$的任一鄰域$x^2+y^2<\delta^2<1$內，取$(\epsilon,-\epsilon)$，得$f(\epsilon,-\epsilon)=2\epsilon^4>0$，而$f(\epsilon,\epsilon)=2\epsilon^4-4\epsilon^2=2\epsilon^2(\epsilon-\sqrt{2})(\epsilon+\sqrt{2})$，由$0<\epsilon<1$知，故$f(0,0)=0$不是極值。
  $B^2-AC|_{P_3}=-96<0$，且$A|_{P_3}>0$，故$f(1,1)=-2$也是極小值。（這道題主要利用了極值的充分性定理求解，具體的定理見下圖）

例10.19  設$x,y$爲任意正數，$n$爲正整數，求證$\cfrac{x^n+y^n}{2}\geqslant\left(\cfrac{x+y}{2}\right)^n$。

證  設$x+y=a$，則原式化爲在$x+y=a$的條件下求$f(x,y)=\cfrac{x^n+y^n}{2}(0<x\leqslant a,0<y\leqslant a)$的最小值問題。令$F(x,y,\lambda)=\cfrac{x^n+y^n}{2}+\lambda(x+y-a)$，則$F'_x=\cfrac{n}{2}x^{n-1}+\lambda=0,F'_y=\cfrac{n}{2}y^{n-1}+\lambda=0,F'_\lambda=x+y-a=0$，解得$x=y=\cfrac{a}{2}$，此時$f\left(\cfrac{a}{2},\cfrac{a}{2}\right)=\left(\cfrac{a}{2}\right)^n$，即爲所求最小值，從而$\cfrac{x^n+y^n}{2}\geqslant\left(\cfrac{x+y}{2}\right)^n$。（這道題主要利用了不等式變換求解）

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例13.2

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13.17

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