UVA11401 Triangle counting 題解

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簡要題意：

若干組數據，每組數據給出一個 $n$ ，求出 三邊均 $\leq n$ 且互不相等 的三角形個數。兩個三角形不同當且僅當至少有一邊長度不同。

首先我們應當考慮三角形的性質。設三邊爲 $x,y,z$ 且 $x>y>z$.

則：

$x < y+z$

可以得到 $y$ 的範圍：

$x-z < y < x$

假設 $f_x$ 表示 $x$ 爲最長邊時的答案。

此時應存在：

$f_x = x - (x-z) - 1 = z - 1$

顯然這是已知 $z$ 的情況。$z \leq x-2$，所以：

$f_x = \sum_{z=1}^{x-2} z-1 = \sum_{z=1}^{x-1} z = \frac{(x-1)(x-2)}{2}$

但是你會發現這並不正確。$y=z$ 的情況需要剔除，這是一個簡單的容斥思想。

當 $y=z$ 時，顯然存在：

$\frac{x}{2} + 1 \leq y = z \leq x-1$

所以這種情況的方案數爲：

$(x-1) - (\frac{x}{2} + 1) = \frac{x-2}{2}$

考慮原來可能把 $y=2 , z = x-1$ 和 $y=x-1 , z=2$ 重複計算，因此可得：

$f_x = \frac{ \frac{(x-1)(x-2)}{2} - \frac{x-2}{2} }{2} =\frac{(x-2)^2}{4}$

當 $x$ 爲自然數時應向下取整。

因此，若 $g_x$ 表示題目所求，則：

$\begin{cases} g_x = 0 , x=1,2,3 \\ g_x = g_{x-1} + f_x , x >3 \\ \end{cases}$

以此類推即可。

時間複雜度：$O(n+T)$. （$T$ 爲數據組數）

實際得分：$100pts$.

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef __int128 ll;
const int N=1e6+1;

inline int read(){char ch=getchar(); int f=1; while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	int x=0; while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar(); return x*f;}

inline void write(ll x) {
	if(x<0) {putchar('-');write(-x);return;}
	if(x<10) {putchar(char(x%10+'0'));return;}
	write(x/10);putchar(char(x%10+'0'));
}

ll f[N]; int n;

int main() {
	f[1]=f[2]=f[3]=0ll;
	for(ll i=4;i<N;i++) f[i]=f[i-1]+(i-2)*(i-2)/4;
	while(1) {
		n=read(); if(n<3) return 0;
		write(f[n]); putchar('\n');
	}
	return 0;
}