NOIP2019年提高組複賽上機試題

A. 格雷碼

通常，人們習慣將所有 n 位二進制串按照字典序排列，例如所有 2 位二進制串按字典序從小到大排列爲：00，01，10，11。

格雷碼（Gray Code）是一種特殊的 n 位二進制串排列法，它要求相鄰的兩個二進制串間恰好有一位不同，特別地，第一個串與最後一個串也算作相鄰。

所有 2 位二進制串按格雷碼排列的一個例子爲：00，01，11，10。

n 位格雷碼不止一種，下面給出其中一種格雷碼的生成算法：

1. 1 位格雷碼由兩個 1 位二進制串組成，順序爲：0，1。
2. n+1 位格雷碼的前 2ⁿ 個二進制串，可以由依此算法生成的 n 位格雷碼（總共 2ⁿ 個 n 位二進制串）按順序排列，再在每個串前加一個前綴 0 構成。
3. n+1 位格雷碼的後 2ⁿ 個二進制串，可以由依此算法生成的 n 位格雷碼（總共 2n 個 n 位二進制串）按逆序排列，再在每個串前加一個前綴 1 構成。

綜上，n+1 位格雷碼，由 n 位格雷碼的 2ⁿ 個二進制串按順序排列再加前綴 0，和按逆序排列再加前綴 1 構成，共 2ⁿ+1 個二進制串。

另外，對於 n 位格雷碼中的 2ⁿ 個二進制串，我們按上述算法得到的排列順序將它們從 0 ∼ 2ⁿ−1 編號。

按該算法，2 位格雷碼可以這樣推出：

1. 已知 1 位格雷碼爲 0，1。
2. 前兩個格雷碼爲 00，01。後兩個格雷碼爲 11，10。合併得到 00，01，11，10，編號依次爲 0 ∼ 3。

同理，3 位格雷碼可以這樣推出：

1. 已知 2 位格雷碼爲：00，01，11，10。
2. 前四個格雷碼爲：000，001，011，010。後四個格雷碼爲：110，111，101，100。合併得到：000，001，011，010，110，111，101，100，編號依次爲 0 ∼ 7。

現在給出 n,k，請你求出按上述算法生成的 n 位格雷碼中的 k 號二進制串。

輸入格式
僅一行，包含兩個整數 n 和 k。

輸出格式
僅一行，一個 n 位二進制串表示答案。

數據範圍
對於 50% 的數據：n≤10
對於 80% 的數據：k≤5×10⁶
對於 95% 的數據：k≤2⁶³−1
對於 100% 的數據：1≤n≤64,0≤k<2ⁿ
輸入樣例1：
2 3
輸出樣例1：

10

輸入樣例2：

3 5

輸出樣例2：

111

樣例解釋
對於樣例1，2 位格雷碼爲：00，01，11，10，編號從 0 ∼ 3，因此 3 號串是 10。

對於樣例2，3 位格雷碼爲：000，001，011，010，110，111，101，100，編號從 0 ∼ 7，因此 5 號串是 111。
AC代碼

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef unsigned long long ULL;

string f(int n, ULL k)
{
    if (!n) return "";
    
    if (k < (1ull << n - 1)) return "0" + f(n - 1, k);
    else
    {
        ULL t = (1ull << n) - 1;
        if (n == 64) t = -1;
        return "1" + f(n - 1, t - k);
    }
}

int main()
{
    int n;
    ULL k;
    cin >> n >> k;
    cout << f(n, k) << endl;
    
    return 0;
}

B. 括號樹

本題中合法括號串的定義如下：

1. () 是合法括號串。
2. 如果 A 是合法括號串，則 (A) 是合法括號串。
3. 如果 A，B 是合法括號串，則 AB 是合法括號串。

本題中子串與不同的子串的定義如下：

1. 字符串 S 的子串是 S 中連續的任意個字符組成的字符串。S 的子串可用起始位置 l 與終止位置 r 來表示，記爲 S(l,r)（1≤l≤r≤|S|，|S| 表示 S 的長度）。
2. S 的兩個子串視作不同當且僅當它們在 S 中的位置不同，即 l 不同或 r 不同。

一個大小爲 n 的樹包含 n 個結點和 n−1 條邊，每條邊連接兩個結點，且任意兩個結點間有且僅有一條簡單路徑互相可達。

小 Q 是一個充滿好奇心的小朋友，有一天他在上學的路上碰見了一個大小爲 n 的樹，樹上結點從 1 ∼ n 編號，1 號結點爲樹的根。

除 1 號結點外，每個結點有一個父親結點，u（2≤u≤n）號結點的父親爲 fu（1≤fu<u）號結點。

小 Q 發現這個樹的每個結點上恰有一個括號，可能是( 或)。

小 Q 定義 si 爲：將根結點到 i 號結點的簡單路徑上的括號，按結點經過順序依次排列組成的字符串。

顯然 si 是個括號串，但不一定是合法括號串，因此現在小 Q 想對所有的 i (1≤i≤n) 求出，si 中有多少個互不相同的子串是合法括號串。

這個問題難倒了小 Q，他只好向你求助。

設 si 共有 ki 個不同子串是合法括號串，你只需要告訴小 Q 所有 i×ki 的異或和，即：

其中 xor 是位異或運算。

輸入格式
第一行一個整數 n，表示樹的大小。

第二行一個長爲 n 的由 ( 與 ) 組成的括號串，第 i 個括號表示 i 號結點上的括號。

第三行包含 n−1 個整數，第 i（1≤i<n）個整數表示 i+1 號結點的父親編號 fi+1。

輸出格式
僅一行一個整數表示答案。

數據範圍

輸入樣例：

5
(()()
1 1 2 2

輸出樣例：

6

樣例解釋
樹的形態如下圖：

將根到 1 號結點的簡單路徑上的括號，按經過順序排列所組成的字符串爲 (，子串是合法括號串的個數爲 0。
將根到 2 號結點的簡單路徑上的括號，按經過順序排列所組成的字符串爲 ((，子串是合法括號串的個數爲 0。
將根到 3 號結點的簡單路徑上的括號，按經過順序排列所組成的字符串爲 ()，子串是合法括號串的個數爲 1。
將根到 4 號結點的簡單路徑上的括號，按經過順序排列所組成的字符串爲 (((，子串是合法括號串的個數爲 0。
將根到 5 號結點的簡單路徑上的括號，按經過順序排列所組成的字符串爲 (()，子串是合法括號串的個數爲 1。
AC代碼

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 500010;
int n;
char str[N];
int h[N], e[N], ne[N], idx;
LL f[N], g[N];
int p[N], stk[N], top;

void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

void dfs(int u)
{
    if (str[u] == '(')
    {
        stk[ ++ top] = u;
        f[u] = f[p[u]];
        for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) dfs(e[i]);
        top -- ;
    }
    else
    {
        if (!top)
        {
            f[u] = f[p[u]];
            for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) dfs(e[i]);
        }
        else
        {
            int t = stk[top -- ];
            g[u] = g[p[t]] + 1;
            f[u] = f[p[u]] + g[u];
            for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) dfs(e[i]);
            stk[ ++ top] = t;
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    scanf("%s", str + 1);
    memset(h, -1, sizeof h);

    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        scanf("%d", &p[i]);
        add(p[i], i);
    }

    dfs(1);

    LL res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) res ^= f[i] * i;

    printf("%lld\n", res);

    return 0;
}