1. 背景
前段时间复习完了高数第二章的内容,我参考《复习全书·基础篇》和老师讲课的内容对这一章的知识点进行了整理,形成了这篇笔记,方便在移动设备上进行访问和后续的补充修改。
2. 导数与微分的概念
2.1. 导数与微分的概念
2.2. 连续、可导、可微之间的关系
-
连续与可导
-
连续与可微
-
可导与可微(在一元函数中)
- 可微必定可导
- 可导必定可微
- 可导是可微的
充分必要
条件
注
:在多元函数中,可导(偏导)不一定可微,可导(偏导)也不一定连续
根据可导定义,令
Δx→0limΔxΔy=A
则有
Δx→0limΔxΔy−AΔx=0
即有Δy−AΔx=o(Δx),故Δy=AΔ+o(Δx),其中A为常数,满足可微的定义,因此,可导必可微。
根据可微定义
Δy=AΔx+o(Δx)
则
f′(x0)=Δx→0limΔxAΔx+o(Δx)=A
导数存在,故满足可导的定义,因此可微必可导,且f′(x)=A.
- 常见错误
- f(x)在某邻域可导
不能
推出f′(x)在x0点连续
不能
推出x→x0limf′(x)存在
- 题型:第一章例33,考察洛必达法则的使用条件
2.3. 导数的几何意义
导数f′(x0)在几何上表示曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率。
注
:法线的斜率是切线斜率的负倒数。
2.4. 相关变化率
设x=x(t)及y=y(t)都是可导函数,而变量x与y之间存在某种关系,从而他们的变化率dtdx与dtdy之间也存在一定关系,这样两个相互依赖的变化率成为相关变化率
已知动点P在曲线y=x3上运动,记座标原点与点P间的距离为l。若点P的横座标对时间的变化率为常数v0,则当点P运动到点(1,1)时,l对时间的变化率是.
解:
已知dvdx=v0,l=x2+x6,则
dtdl=dxdl⋅dtdx=2x2+x62x+6x5⋅v0
带入数值x=1,则
dtdl=21+3v0=22v0
3. 导数公式及求导法则
3.1. 基本初等函数的导数公式
(C)′=0(2.1)
(xa)′=axa−1(2.2)
(ax)′=axln(a)(2.3)
(ex)′=ex(2.4)
(logax)′=xln(a)1(2.5)
(ln∣x∣)′=x1(2.6)
(sinx)′=cos(x)(2.7)
(cosx)′=−sin(x)(2.8)
(tanx)′=sec2(x)(2.9)
(cotx)′=−csc2(x)(2.10)
(secx)′=sec(x)tan(x)(2.11)
(cscx)′=csc2(x)cot(x)(2.12)
(arcsinx)′=1−x21(2.13)
(arccosx)′=−1−x21(2.14)
(arctanx)′=1+x21(2.15)
(arcctgx)′=1−x21(2.16)
注
:sec(x)=cos(x)1,csc(x)=sin(x)1
3.2. 求导法则
3.2.1. 有理运算法则
设u=u(x),v=v(x)在x处可导,则
(u±v)′=u′±v′(2.17)
(uv)′=u′v+uv′(2.18)
(vu)′=v2u′v−uv′(2.19)
3.2.2. 复合函数求导法
设u=φ(x)在x处可导,y=f(u)在对应点可导,则复合函数y=f[φ(x)]在x处可导,则
dxdy=dudy⋅dxdu=f′(u)φ′(x)(2.20)
一个可导的奇(偶)函数,求一次导,其奇偶性发生一次变化
- 若f(x)为
奇函数
。
f(x)满足f(−x)=−f(x),又根据复合函数求导法则,得到f′(−x)=−f′(x),则
[f(−x)]′=−[−f(x)]′=[f(x)]′
即f′(x)为偶函数
- 若f(x)为
偶函数
。
f(x)满足f(−x)=f(x),又根据复合函数求导法则,得到f′(−x)=−f′(x),则
[f(−x)]′=−[f(x)]′
即f′(x)为奇函数
3.2.3. 隐函数求导法
设y=y(x)是由方程F(x,y)=x所确定的可导函数,为求得y′,可在方程F(x,y)=0两边对x求导,可得到一个含有y′的方程,从中解出y′即可。
注
:y′也可由多元函数微分法中的隐函数求导公式2.21得到。
dxdy=−Fy′Fx′(2.21)
3.2.4. 反函数的导数
若y=f(x)在某区间内可导,且f′(x)=0,则其反函数x=φ(x)在对应区间内也可导,且
φ(y)=f′(x)1(2.22)
即
dxdy=dxdy1
3.2.5. 参数方程求导法
设y=y(x)是由参数方程
{x=φ(x)y=ψ(x),(α<t<β)
确定的函数,则
- 若φ(x)和ψ(x)都可导,且φ(t)=0,则
dxdy=φ(x)ψ(x)(2.23)
- 若φ(x)和ψ(x)都二阶可导,且φ(t)=0,则
d2xd2y=dtd(dxdy)⋅dxdt=dtd(φ′(t)ψ′(t))⋅φ′(x)1=φ3(t)ψ′′(t)φ′(x)−φ′′(x)ψ′(t)(2.24)
3.2.5.1. 极座标方程转化为参数方程形式
极座标性质
⎩⎨⎧ρ2tanθ=x2+y2=xy(x=0)(2.25)
极座标转化为直角座标的转化公式
{x=ρsinθy=ρcosθ(2.26)
已知经过点M(ρo,θ0),且直线与极轴所成角为α的直线l,其极座标方程为
ρsin(α−θ)=ρ0sin(α0−θ0)
即
ρ=ρ0sec(α0−θ0)
转化为参数方程形式
{x=ρ0sec(α0−θ0)sin(θ)y=ρ0sec(α0−θ0)cos(θ)
3.2.6. 对数求导法
如果y=y(x)的表达式由多个因式的乘除、乘幂
构成,或是幂指函数
的形式,则可先将函数去对数,然后两边对x求导。
注
:对等式两边取对数,需要满足等式两边都大于0的条件
4. 高阶导数
4.1. 高阶导数的定义
含义:一般地,函数y=f(x)的n阶导数为y(n)=[f(n−1)(x)]′,也可记为f(n)(x)或dxndny,即n阶导数就是n−1阶导函数的导数。
注
:如果函数在点x处n阶可导,则在点x的某邻域内f(x)必定具有一切低于n阶的导数。
4.2. 常用的高阶导数公式
(sinx)(n)=sin(x+n⋅2π)(2.27)
(cosx)(n)=cos(x+n⋅2π)(2.28)
(u±v)(n)=u(n)±v(n)(2.29)
(uv)(n)=k=0∑nCnku(k)v(n−k)(2.30)
式2.24可类比n阶二项式公式
(u+v)n=k=0∑nCnkukvn−k(2.31)
若y=sin(ax+b),则
y(n)=ansin(ax+b+n⋅2π)(2.32)
通过归纳法,求y′和y′′,推出y(n).
4.3. 求高阶导数的方法
- 公式法,带入高阶导数公式
- 归纳法,求y′,y′′,归纳y(n)
5. 总结
- 导数
- 微分