【省选模拟】20/05/31

原創

2020-06-16 05:42

$A$

考虑每个位置有个被最早染黑的时间，求的就是这些时间的第 $k$ 大
$minmax$ 容斥一下，就是求
$\sum_{T\neq \empty}\binom{|T|-1}{k-1}(-1)^{|T|-k}\frac{\binom{n+1}{2}}{\binom{n+1}{2}-coef(T)}$
其中 $coef$ 是不包含集合 $T$ 的区间个数，考虑 $dp_{i,j,k}$ 表示当前选到 $i$ ， $|T|=j$ ， $coef(T)=k$ 的方案数，状态很少 $O(n^5)$ 可以通过
考虑一个复杂度更好看但肯定跑不过 $n^5$ 的做法，我们先把转移写出来
$dp_{i,j,k}=\sum_{l<i}dp_{l,j-1,k-\binom{i-l}{2}}$
考虑写成这样的形式
$F_{i,j}=\sum_{l<i}F_{l,j-1}*x^{\binom{i-l}{2}}$
代入 $\binom{n+1}{2}+1$ 个点值就可以插出原多项式，注意到我们强制在最后放一个 $n+1$ ，那么只需要对 $F_{n+1,1...n+1}$ 共 $n+1$ 个多项式进行 $idft$ ，复杂度 $O(n^3\log n)$
回到上面的转移，发现是个卷积的形式，即
$F_{i,j}=\sum_{l=0}^iF_{l,j-1}coef_{i-l}$
由于代的是点值，所以 $coef$ 可以预先算出来
我们将 $coef,F_{j=0}$ $dft$ ，点乘转移，复杂度 $O(n^2)$
考虑最后只需要知道 $x^{n+1}$ 的系数，所以我们只需要对 $F_{n+1,j=1...n+1}$ 暴力 $O(n)$ $idft$ 回去
所以可以在 $O(n^4)$ 的时间解决这个问题

考虑如何暴力 $DP$ ，我的做法是记录 $dp_{u,v}$ 表示 $u$ 的子树，从 $v$ 接上来一条还没有匹配的链（ $v=0$ 表示 $u$ 向上的边断掉）
发现当 $v\neq 0$ 时，会将每个子树的 $dp$ 值乘上 $\prod_{t\neq v}dp_{t,0}$ 然后合并上去（用线段树合并简单维护）
当 $v=0$ 时，先考虑子树中一个点和 $u$ 拼接，可以在线段树中查询 $\ge$ 某个值的 $dp$ 和还有一个 $\prod_{t\neq v}dp_{t,0}$ 的系数，考虑两个子树的拼接，假设 $dp_{v,0}=0$ 的 $v$ 有 $k$ 个
当 $k>2$ 时不存在这种情况
当 $k=2$ 时，两个都必须选才会有值，必定存在一个轻儿子，我们 $dfs$ 那个轻儿子
当 $k=1$ 时，它必须选，若它是重儿子，我们 $dfs$ 所有轻儿子，否则我们 $dfs$ 除它以外的轻儿子，然后 $dfs$ 它自己与重儿子拼接
当 $k=0$ 时， $dfs$ 所有轻儿子并考虑与前面的拼接， $dfs$ 完后将它的线段树合并上去

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