2019牛客國慶集訓派對day4 I Strange Optimization(Math - exgcd)

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來源：2019牛客國慶集訓派對day4

• 題目描述
• 輸入描述:
  The input contains zero or more test cases and is terminated by end-of-file.
  Each test case contains two integers n, m.
  $1≤n,m≤10^{9}$
  The number of tests cases does not exceed $10^{4}$.
• 輸出描述:
  For each case, output a fraction p/q which denotes the result.
• 輸入
  1 1
  1 2
• 輸出
  1/2
  1/4
• 備註:
  For the first sample, $α=0$ maximizes the function.

  題意$：$最大化$f(t)=min_{i,j∈Z}|i/n-j/m+t|$
  思路$：$$f(t)=min_{i,j∈Z}|i/n-j/m+t|=min_{i,j∈Z}|(i*m-j*n)/(m*n)+t|$，我們設$(i*m-j*n) = c$ 根據題意可知此方程式一定有解，那麼就是 $ecgcd$ 有解，所以 $(i*m-j*n) = c=k*gcd(m*n)$，得到 $f(t)=min_{i,j∈Z}|k*gcd(m,n)/(m*n)+t|$，我們找出兩個點$X_{k}=k*gcd(m,n)/(m*n)$   $X_{k+1}=(k+1)*gcd(m,n)/(m*n)$，這兩個點之間的距離爲 $X_{k+1}-X_{k}=gcd(m,n)/(m*n)$，我們需要找到的答案就是 $t$ 到這些點的距離哪一個最近並且是最大的。由上述分析可知 $t$ 到上面兩個點的中點纔可以最大化 $f(t)$。即 $t=gcd(m,n)/(m*n)/2=1/2*lcm(m,n)$。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int Max_n=1e6+10;

int gcd(int a,int b){
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

ll lcm(int a,int b){
    return 1ll*a*b/gcd(a,b);
}

int main(){
    int n,m;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
        printf("%d/%lld\n",1,2*lcm(n,m));
    }
    return 0;
}


/**
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* All rights reserved.
* Author : Max_n
* Date : 2019-10-05-16.42.31
* Description : exgcd 的應用
*/