圖像梯度(Image Gradient)

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圖像梯度的定義（離散）

對於一個二元函數$F(x,y)$來說，其偏導數的定義爲：

$\frac {\delta F(x,y)}{\delta x}=\displaystyle \lim_{\epsilon \rightarrow 0}\frac {F(x+\epsilon,y)-F(x,y)}{\epsilon}$
這是沿着x方向的定義。這種定義適用於連續函數，而圖像是二維的離散函數，$\epsilon$不能無限趨近於0，最小隻能是1個像素，因此我們使用有限差分來近似計算梯度。上面的公式變爲：
$X:\frac {\delta F(x,y)}{\delta x}\approx\frac {F(x+1,y)-F(x,y)}{1}$
同理y方向的定義爲：
$Y:\frac {\delta F(x,y)}{\delta x}\approx\frac {F(x,y+1)-F(x,y)}{1}$
這種近似計算的方式屬於前向差分。

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圖像梯度理解

在數學上，梯度的本意是一個向量，表示某一函數在該點處的方向導數沿着該方向取得最大值，即函數在該點處沿着該方向（此梯度的方向）變化最快，變化率最大（爲該梯度的模）。

N元函數在每一個點的梯度是一個由在N個方向的偏導數組成的N維向量。拿三元函數$f(x,y,z)$來說，如果其梯度存在，則梯度的定義爲：
$\nabla f = \frac {\vartheta f}{\vartheta x}\textbf{i} + \frac {\vartheta f}{\vartheta x}\textbf{j} + \frac {\vartheta f}{\vartheta x}\textbf{k}$
這樣梯度就提供了兩種信息——大小和方向。梯度的方向告訴我們函數在這個點沿着這個方向上升最快(負梯度就代表函數在這個點沿着負梯度方向下降最快)。把函數比作一座“山”，我們站在半山腰上，如果我們要上山則沿着梯度方向可以最快到達山頂，如果是下山則沿着梯度的反方向（負梯度方向）則可以最快到達山腳。梯度的大小代表了沿着這個方向的變化率。

由於梯度的定義只適用於連續的函數，而圖像是二維的離散函數，因此對於圖像來說我們需要使用有限差分（Finite differences）來近似計算梯度。我們以一元函數$f(x)$來舉例，$f(x)$在某一點的導數定義爲：
$Derivative:f'(x) = \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0}\frac {f(x+h)-f(x)}{h}$
下面使用差分來近似，假設$h$爲一個非零固定值，則上面的導數定義變爲：
$f'(x) \approx\frac {f(x+h)-f(x)}{h}$
有限差分最常使用的有三種形式：前向、後向、中心。

• 前向
  $f'(x) \approx\frac {f(x+h)-f(x)}{h}$
• 後向
  $f'(x) \approx\frac {f(x)-f(x-h)}{h}$
• 中心
  $f'(x) \approx\frac {f(x+0.5h)-f(x-0.5h)}{h}$

對於計算圖像梯度來說我們使用中心差分來近似計算x、y兩個方向的梯度。下面的例子演示瞭如何計算中間像素點（200）在x方向的中心差分（梯度）

所以在圖像中每一個點的梯度指向灰度值增加最大的方向，其大小對應於這個方向的變化率。所以對於圖像$f(x,y)$，梯度方向（Direction）和大小（Magnitude）的定義爲：
$Magnitude:||\nabla f ||=\sqrt {\left(\frac {\vartheta f}{\vartheta x}\right)^2+\left(\frac {\vartheta f}{\vartheta y}\right)^2}$
$Drection:tan^{-1}(\frac {\vartheta f}{\vartheta y}/\frac {\vartheta f}{\vartheta x})$

簡而言之，沿x方向的圖像梯度測量的是灰度（亮度）值的水平變化(0 ~ 255)，沿y方向的圖像梯度測量的是灰度值的垂直變化(0 ~ 255)

由於在邊緣上圖像的灰度值會發生突然的改變，因此最大的梯度值將出現在圖像中一條邊上（忽略噪聲）。所以x方向的梯度能找到垂直的邊緣，y方向的梯度能找到水平邊緣，如圖所示：

所以邊緣是與梯度方向垂直的，因此圖像梯度可以用於邊緣檢測。此外在使用高斯牛頓法實現光流追蹤時，圖像梯度用於計算雅可比矩陣。

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