剛剛接觸卡特蘭數的時候，對這個結論很蒙，因爲左右括號、火車進站很好理解，結果是個2*n的序列，與卡特蘭數的證明可以直接對應。但是對於二叉樹，我卻很難想到怎麼構造成2*n個數的數列。
可以把二叉樹轉換成完全二叉樹進行理解。
對於n個節點的二叉樹，我們把這n個都當作父親節點，一定可以補充（n+1）個葉子節點，使之成爲一棵（2n+1）個節點的完全二叉樹。我們把原來的二叉樹稱作父親樹，即全是父親節點的樹。
一棵父親樹一定與一棵完全二叉樹一一對應。
（圖片來自https://blog.csdn.net/Dashi_Lu/article/details/90109542）
證明：
對於一棵完全二叉樹，分爲葉子節點和父親節點。
首先，一棵父親樹到完全樹加葉子節點只有一種方式，不會出現一顆父親樹對應多種完全樹，所以這是一個映射。
任意一棵完全二叉樹，刪除所有葉子節點都是一顆父親樹。所以父親樹到完全二叉樹是滿射。
對於兩個不同的父親樹，添加葉子後的完全二叉樹一定不同。所以父親樹到完全二叉樹是單射。
所以父親樹到完全二叉樹是雙射。完全二叉樹的數量與父親樹的數量是相同的。
那麼考慮（2n+1）個節點的完全二叉樹的數量。
根節點是一定的，思考剩下的2n個節點。這2n個節點一定是n個左兒子（兒子節點，不要看成葉子節點），n個右兒子。
做不包括樹根的先序遍歷。節點是左兒子爲0，右兒子爲1。那麼結果就是一個2*n個數的數列，其中n個0，n個1。由於是先序遍歷，前綴0一定比前綴1多，即爲卡特蘭數。完全二叉樹與先序遍歷一一對應。所以完全樹的數量爲
綜上所述，n個節點的二叉樹，（2*n+1）個節點的完全樹，數量均爲