對Rnuge-Kutta算法的理解

龍格-庫塔方法的特點

• 每個龍格庫塔算法都能從泰勒方法推導出來
• 它走的是折中路線，即走每一個步長都會提前進行若干次的函數值計算
• 最常用的是N=4的Runge-Kutta 法
• 需要微積分
  $Z(x+\bigtriangleup x,y+\bigtriangleup y)=Z(x,y)+\frac{\partial Z}{\partial x}\bigtriangleup x+\frac{\partial Z}{\partial y}\bigtriangleup y$

詳細說明

以二階龍格庫塔算法爲例說明

第一點

$s_1=f(x(t),t)$
$s_2=f(x(t)+1/2s_1\bigtriangleup t,t+1/2\bigtriangleup t)$
$x(t+\bigtriangleup t)=x(t)+s_2\bigtriangleup t$

第二點

記$f(x,t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}x(t)$
微分方程解的泰勒展開：
$x(t+\bigtriangleup t)=x(t)+f(x,t)\bigtriangleup t+\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}t^2}\bigtriangleup t^2+...$
其中二階項展開：
$\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}t^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(x,t) =\frac{\partial f}{\partial t}f+\frac{\partial f}{\partial t}$

第三點

推導過程：
$f(x(t)+1/2s_1\bigtriangleup t,t+1/2\bigtriangleup t)=f(x(t),t)+\frac{\partial f}{\partial x}1/2f(x(t),t)\bigtriangleup t+\frac{\partial f}{\partial t}1/2\bigtriangleup t$
$上式=f(x(t),t)+1/2\bigtriangleup t(\frac{\partial f}{\partial x}f(x(t),t)+\frac{\partial f}{\partial t})$
$上式=f(x(t),t)+1/2\bigtriangleup t(\frac{\partial f}{\partial x}f(x(t),t)+\frac{\partial f}{\partial t})$
$上式=\boldsymbol{f(x(t),t)+1/2\bigtriangleup t\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}t^2} }$ (龍格庫塔的核心思想)

核心思想：

把二階導數的表達式用一階導數“表示”出來，這意味着計算量減少（默認二階導數的計算量比一階大）但同時精度並沒有減少。

accuracy higher with less time

第四點

解釋一下$s_2$的係數爲什麼有個1/2，注意這不是巧合！