对Rnuge-Kutta算法的理解

龙格-库塔方法的特点

• 每个龙格库塔算法都能从泰勒方法推导出来
• 它走的是折中路线，即走每一个步长都会提前进行若干次的函数值计算
• 最常用的是N=4的Runge-Kutta 法
• 需要微积分
  $Z(x+\bigtriangleup x,y+\bigtriangleup y)=Z(x,y)+\frac{\partial Z}{\partial x}\bigtriangleup x+\frac{\partial Z}{\partial y}\bigtriangleup y$

详细说明

以二阶龙格库塔算法为例说明

第一点

$s_1=f(x(t),t)$
$s_2=f(x(t)+1/2s_1\bigtriangleup t,t+1/2\bigtriangleup t)$
$x(t+\bigtriangleup t)=x(t)+s_2\bigtriangleup t$

第二点

记$f(x,t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}x(t)$
微分方程解的泰勒展开：
$x(t+\bigtriangleup t)=x(t)+f(x,t)\bigtriangleup t+\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}t^2}\bigtriangleup t^2+...$
其中二阶项展开：
$\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}t^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(x,t) =\frac{\partial f}{\partial t}f+\frac{\partial f}{\partial t}$

第三点

推导过程：
$f(x(t)+1/2s_1\bigtriangleup t,t+1/2\bigtriangleup t)=f(x(t),t)+\frac{\partial f}{\partial x}1/2f(x(t),t)\bigtriangleup t+\frac{\partial f}{\partial t}1/2\bigtriangleup t$
$上式=f(x(t),t)+1/2\bigtriangleup t(\frac{\partial f}{\partial x}f(x(t),t)+\frac{\partial f}{\partial t})$
$上式=f(x(t),t)+1/2\bigtriangleup t(\frac{\partial f}{\partial x}f(x(t),t)+\frac{\partial f}{\partial t})$
$上式=\boldsymbol{f(x(t),t)+1/2\bigtriangleup t\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}t^2} }$ (龙格库塔的核心思想)

核心思想：

把二阶导数的表达式用一阶导数“表示”出来，这意味着计算量减少（默认二阶导数的计算量比一阶大）但同时精度并没有减少。

accuracy higher with less time

第四点

解释一下$s_2$的系数为什么有个1/2，注意这不是巧合！