高等數學張宇18講 第十二講 常微分方程

例題十二

例12.8  求$y\mathrm{d}x=(1+x\ln y)x\mathrm{d}y(y>0)$的通解。

解  方程變形爲$\cfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}-\cfrac{1}{y}x=\cfrac{\ln y}{y}x^2$，這是以$y$爲自變量，$x$爲未知函數的伯努利方程。
  兩邊同時除以$x^2$，並令$z=x^{-1}$，有$\cfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y}=-\cfrac{1}{x^2}\cfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}$，於是方程化爲$\cfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y}+\cfrac{1}{y}z=-\cfrac{\ln y}{y}$；應用一階線性微分方程的通解公式，得
$z=\cfrac{1}{x}=e^{-\ln y}\left[\displaystyle\int\left(-\cfrac{\ln y}{y}e^{\ln y}\right)\mathrm{d}y+C\right]=\cfrac{1}{y}[y(1-\ln y)+C].$
  故通解爲$\cfrac{1}{x}=1-\ln y+\cfrac{C}{y}(y>0,C\text{爲任意常數})$。（這道題主要利用了伯努利方程求解）

新版例題十五

例15.9

例15.14

例15.19

例15.20

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