【省选模拟】20/06/17

$Problem$

• $A$：容易发现是对向左最大深度不超过 $m-2$ 的二叉树进行计数
  写出 $dp$ 式子是
  $dp_{i,j}=\sum_{k=1}^{i-1}dp_{k,j-1}dp_{i-k,j}$
  写成生成函数即为
  $F_j(x)=F_j(x)F_{j-1}(x)+x\\ F_j(x)=\frac{x}{1-F_{j-1}(x)}$
  $F(x)$ 可以写成 $\frac{A(x)}{B(x)}$ 的形式且上下次数不超过 $n$，于是可以代点值 $O(n\log n)$
  可以得到 $O(n^2)$ 的分数
  考虑一棵二叉树对应唯一一条格路，对树中序遍历，走左儿子就向右，走右儿子就向上
  对不经过 $y=x+1,y=x-m+1$ 的格路计数
  考虑最终的路径若经过第一条就写下一个 $a$，若经过第二条就写下一个 $b$，最后的序列形如 $ababab$，显然有 $(-1)^{cnt}$ 的系数，枚举经过几次可以简单计算方案数，$Code$

• $B$：直接最短路 $O(n^32^k)$ 可以得到 $52$ 分的好成绩
  考虑若存在一条路径不经过结界可以到达，那么我们去拿水晶当且仅当走结界可以更近
  枚举这个水晶以及最后走的结界，将这些点作为关键点，考虑求出关键点间的最短路
  处理出 $f_{i,j,S}$ 表示关键点 $i$ 到 $j$ 集合为 $S$ 的方案数，发现可以跑 $floyed$，用集合 $S$ 中的来增广，复杂度 $O(k^32^k)$，需要预处理两点间不经过任何一个结界的最短路 $O(n^3)$，然后 $O(n^2k^2)$ 预处理答案，$Code$

• $C$：考虑如何判断合法性，选择两个一样的消掉，记串 $S$ 消了过后成为 $f(S)$
  分治，枚举左边的一个 $a$ 和右边的一个 $b$ 交换，考虑计算 $f(f(1...i)+b+f(i+1...mid))$
  用 $hash$ 求消掉的最长串可以做的 $O(\log n)$ 拼接，最后考虑拼接左右的 $f(f(1...mid)+f(mid+1...n))$，$Code$