6. 拉普拉斯变换
6.1. 拉普拉斯变换 Laplace Transform
6.1.1 双边拉普拉斯变换的定义
-
有些函数不满足绝对可积条件,求解傅里叶变换困难。为此,可用一衰减因 e−σt (σ 为实常数)乘信号 f(t), 适当选取 σ 的值, 使乘积信号 f(t)e−σt 当 t→∞ 时 信号幅度趋近于 0, 从而使 f(t)e−σt 的傅里叶变换存在。
Fb(σ+jω)=F[f(t)e−σt]=∫−∞∞f(t)e−σte−jωtdt=∫−∞∞f(t)e−(σ+jω)tdt
-
相应的傅里叶逆变换为:
f(t)e−σt=2π1∫−∞∞Fb(σ+jω)ejωtdω
f(t)=2π1∫−∞∞Fb(σ+jω)e(σ+jω)tdω
-
令 s=σ+jω,dω=ds/j 有:
Fb(s)=∫−∞∞f(t)e−stdt
f(t)=2πj1∫σ−j∞σ+j∞Fb(s)estds
-
Fb(s) 称为 f(t) 的双边拉氏变换(或象函数),
-
f(t) 称为Fb(s) 的双边拉氏逆变换(或原函数)
6.1.2 收敛域
只有选择适当的 σ 值才能使积分收敛,信号 f(t) 的双边拉普拉斯变换存在
-
收敛域:使 f(t) 拉氏变换存在的 σ 取值范围。
-
例1: 因果信号 f1(t)=eαtε(t), 求其拉普拉斯变换:
F1b(s)=∫0∞eαte−stdt=s−α1[1−t→∞lime−(σ−α)te−jωt]=⎩⎪⎨⎪⎧s−α1,不定,无界,Re[s]=σ>αRe[s]=σ=αRe[s]=σ<α
- 可见,对于因果信号,仅当 Re[s]=σ>α 时,其拉氏变换存在。收敛域如图所示。
-
例2: 反因果信号 f2(t)=eβtε(−t), 求其拉普拉斯变换:
F2b(s)=∫−∞0eβte−stdt=s−β−1[1−t→−∞lime−(σ−β)te−jωt]=⎩⎪⎨⎪⎧s−β−1,不定,无界,Re[s]=σ<βRe[s]=σ=βRe[s]=σ>β
- 可见,对于反因果信号,仅当 Re[s]=σ<β 时,其拉氏变换存在。收敛域如图所示。
-
例3: 双边信号
f3(t)=f1(t)+f2(t)={eβt,eαtt<0t>0
- 仅当 β>α 其收敛域为 α<Re[s]<β 的一个带状区域,如图所示。
-
双边拉氏变换必须标出收敛域。
-
对于双边拉普拉斯变换而言,Fb(s) 和收敛域一起,可以唯一地确定 f(t)。即
f(t)⟷一一对应Fb(S)+收敛域
-
不同的信号可以有相同的 Fb(s) ,但收敛域不同。
6.1.3 单边拉氏变换的定义
- 通常遇到的信号都有初始时刻,不妨设其初始时刻为座标原点。
- 这样, t<0 时, f(t)=0。 从而拉氏变换式写为:
F(s)=∫0−∞f(t)e−stdt
- 称为单边拉氏变换。 简称拉氏变换。
- 其收敛域一定是 Re[s]>α ,可以省略。
- F(s)=L[f(t)]
L[f(t)]=F(s)=def∫0∞f(t)e−stdt
- f(t)=L−1[F(s)]
L−1[F(s)]=f(t)=def[2πj1∫σ−j∞σ+j∞Fb(s)estds]ε(t)
f(t)⟷1-to-1F(s)
6.1.4 单边拉氏变换与傅里叶变换的关系
F(s)=∫0∞f(t)e−stdt,Re[s]>σ0
F(jω)=∫0∞f(t)e−jωtdt
6.1.5 常见信号的拉普拉斯变换
δ(t)⟵ε(t)⟵1⟵es0t⟵cos(ω0t)=2ejω0t+e−jω0t⟵sin(ω0t)=2jejω0t−e−jω0t⟵fT(t)⟵δT(t)⟵⟶1,σ>−∞⟶s1,σ>0⟶s1,σ>0⟶s−s01,σ>Re[s0]⟶s2+ω02s⟶s2+ω02ω0⟶1−e−sT1∫0TfT(t)e−stdt⟶1−e−sT1
- 周期信号 fT(t) 解释:
FT(s)=∫0∞fT(t)e−stdt=∫0TfT(t)e−stdt+∫T2TfT(t)e−stdt+⋯=n=0∑∞∫nT(n+1)TfT(t)e−stdt
令 t=t+nT:
n=0∑∞e−nsT∫0TfT(t)e−stdt=1−e−sT1∫0TfT(t)e−stdt
6.2. 拉普拉斯变换的性质
6.2.1 线性性质
- 若
f1(t)⟵f2(t)⟵a1f1(t)+a2f2(t)⟵⟶F1(s),⟶F2(s),⟶a1F1(s)+a2F2(s),Re[s]>σ1Re[s]>σ2Re[s]>max(σ1,σ2)
6.2.2 尺度变换
- 若
f(t)⟵f(αt)⟵⟶F(s),⟶α1F(αs),实数α>0,Re[s]>σ0Re[s]>ασ0
6.2.3 时移性质
-
若
f(t)⟵f(t−t0)ε(t−t0)⟵f(αt−t0)ε(αt−t0)⟵⟶F(s),Re[s]>σ0,⟶e−st0F(s),⟶α1e−αt0sF(αs),实常数t0>0,Re[s]>σ0Re[s]>σ0实数α>0,Re[s]>σ0
-
若 f(t) 为 因果信号,
f(t−t0)⟵⟶e−st0F(s)
6.2.4. 复频移特性
- 若
f(t)⟵f(t)esαt⟵⟶F(s),⟶F(s−sα),复常数sα=σα+jωα,Re[s]>σ0Re[s]>σ0+σα
6.2.5. 时域微分特性
-
若
f(t)⟵f′(t)⟵f′′(t)⟵⟶F(s),⟶sF(s)−f(0−)⟶s2F(s)−sf(0−)−f′(0−)Re[s]>σ0
-
若f(t)为 因果信号,则
f(n)(t)⟵⟶snF(s)
6.2.6. 时域积分特性
-
若
f(t)⟵∫0−tf(x)dx⟵(∫0−t)nf(x)dx⟵f(−1)(t)=∫−∞tf(x)dx⟵⟶F(s),⟶s1F(s)⟶sn1F(s)⟶s−1F(s)+s−1f(−1)(0−)Re[s]>σ0
-
若f(t)为 因果信号,则
f(t)⟵⟶snFn(s)
6.2.7. 复频域微分和积分
- 若
f(t)⟵(−t)f(t)⟵(−t)nf(t)⟵tf(t)⟵⟶F(s),⟶dsdF(s)⟶dsndnF(s)⟶∫s∞F(η)dηRe[s]>σ0
6.2.8. 时域卷积定理
- 若 因果函数:
f1(t)⟵f2(t)⟵f1(t)⋆f2(t)⟵⟶F1(s),⟶F2(s),⟶F1(s)⋅F2(s),Re[s]>σ1Re[s]>σ2Re[s]>max(σ1,σ2)
6.2.9. 复频域卷积定理
- 若 因果函数:
f1(t)⟵f2(t)⟵f1(t)⋅f2(t)⟵⟶F1(s),⟶F2(s),⟶2πj1∫c−j∞c+j∞F1(η)⋅F2(s−η)dη,Re[s]>σ1Re[s]>σ2Re[s]>max(σ1,σ2)
6.2.10. 初值 终值 定理
初值定理和终值定理常用于由 F(s) 直接求 f(0+) 和 f(∞) ,而不必求出原函数 f(t)。
-
初值定理:
- 设函数 f(t) 不含 δ(t) 及其各阶导数(即 F(s) 为真分式,若 F(s) 为假分式化为真分式),则:
f(0+)=t→0+limf(t)=s→∞limsF(s)
-
终值定理:
- 若 f(t),当 t→∞ 时存在, 并且 f(t)↔F(s) , Re[s]>σ0 , σ0<0, 则:
f(∞)=s→0limsF(s)
6.3. 拉普拉斯反变换
f(t)=L−1[F(s)]⟷L[f(t)]=F(s)
6.3.1. 拉普拉斯反变换
-
直接利用定义式求反变换—复变函数积分,比较困难。
-
通常的方法:
- 查表;
- 利用性质;
- 部分分式展开 --结合。
-
若象函数 F(s) 是 s 的有理分式, 可写为:
F(s)=sn+an−1sn−1+⋯+a1s+a0bmsm+bm−1sm−1+⋯+b1s+b0
-
若 m≥n (假分式),可用多项式除法将象函数 F(s) 分解为
有理多项式P(s)+有理真分式
F(s)=P(s)+A(s)B0(s)
-
P(s) 的拉普拉斯逆变换由冲激函数及其各阶导数构成。
- 例: P(s)→a1s2+a2s+a3→a1δ′′(t)+a2δ′(t)+a3δ(t)
-
下面主要讨论有理真分式。
6.3.2. 部分分式展开法
- 若 F(s) 是 s 的实系数有理真分式 (m<n),则
F(s)=A(s)B(s)=sn+an−1sn−1+⋯+a1s+a0bmsm+bm−1sm−1+⋯+b1s+b0
- 式中 A(s) 称为 F(s) 的 特征多项式 (characteristic polynomial),方程 A(s)=0 称为 特征方程,它的根称为 特征根,也称为 F(s) 的 固有频率(或自然频率)。n个特征根 pi 称为 F(s) 的 极点
-
F(s) 为单极点(单根)
F(s)=A(s)B(s)=s−p1K1+s−p2K2+⋯+s−piKi+⋯+s−pnKn
Ki=(s−pi)F(s)∣∣s=pi
L−1[s−pi1]=epitε(t)
- 特例 F(s) 包含共轭复根时 (p1,2=−α±jβ):
F(s)K1K2F1(s)f1(t)=D(s)[(s+α)2+β2]B(s)=D(s)(s+α−jβ)(s+α+jβ)B(s)=s+α−jβK1+s+α+jβK2+F2(s)=[(s+α−jβ)F(s)]∣∣s=−α+jβ=∣K1∣ejθ=A+jB=K1∗=∣K1∣e−jθ=A−jB=s+α−jβK1+s+α+jβK2=s+α−jβ∣K1∣ejθ+s+α+jβ∣K1∣e−jθ=2∣K1∣e−αtcos(βt+θ)ε(t)
若K1,2=A±jB,f1(t)=2e−αt[Acos(βt)−Bsin(βt)]ε(t)
-
F(s) 有重极点(重根)
- 若 A(s)=0 在 s=p1 处有 r 重根,
F(s)=A(s)B(s)=(s−p1)rK11+(s−p1)rK12+⋯+(s−p1)rK1r
K11=[(s−p1)rF(s)]∣∣s=p1
K12=dsd[(s−p1)rF(s)]∣∣s=p1
K1i=(i−1)!1dsi−1di−1[(s−p1)rF(s)]∣∣∣s=p1
L[tnε(t)]=sn+1n!
L−1[(s−p1)n+11]=n!1tnep1tε(t)
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