洛谷 P3935 Calculating 題解

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原題鏈接

一看我感覺是個什麼很難的式子……

結果讀完了才發現本質太簡單。

算法一

完全按照那個題目所說的，真的把質因數分解的結果保留。

最後乘。

時間複雜度：$O(r \sqrt{r})$.

實際得分：$40pts$.

（實在想不到比這得分更低的算法了）

算法二

機智的發現是個因數枚舉。

然後枚舉因數。

時間複雜度： $O(r \sqrt{r})$.

實際得分： $40pts$.

（只是碼量少一點）

算法三

推式子。

$f_x$ 其實就是 $x$ 的因數個數。

我們只需分別求出 $\sum_{i=1}^r f_i$ 和 $\sum_{i=1}^{l-1} f_i$ ，再相減即可。

（日常前綴和思路）

$\sum_{i=1}^r f_i$

$= \sum_{i=1}^r \sum_{j|i} 1$

$= \sum_{i=1}^r \sum_{j=1}^i [j|i]$

$= \sum_{j=1}^r \sum_{i=1}^r [j|i]$

（這步的依據是：我們不枚舉每個數的因數，而是考慮每個數作爲其它因數所產生的貢獻）

$= \sum_{j=1}^r \lfloor \frac{r}{j} \rfloor$

（這步的依據是：從 $1$ 到 $n$ 共有 $\lfloor \frac{r}{j} \rfloor$ 個數是 $j$ 的倍數）

然後到這裏，我們暴力枚舉。

時間複雜度： $O(r)$.

實際得分：$60pts$.

算法四

暴力枚舉個頭？

答案擺在面前還在那暴力

明明是整除分塊好吧。

不知道整除分塊是啥？

淺談整除分塊

$\texttt{OK}$，你發現，這題竟然是 整除分塊的模板題 。

時間複雜度： $O(\sqrt{r})$.

實際得分：$100pts$.

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const ll MOD=998244353;

inline ll read(){char ch=getchar();ll f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	ll x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}

int main(){
	ll l=read(),r=read();
	ll ans=0; l--;
	for(ll i=1,t;i<=r;i=t+1) {
		t=r/(r/i); ll len=(t-i+1)%MOD;
		ans=(ans+len*(r/i)%MOD)%MOD;
	} //這是 1~r 的
	for(ll i=1,t;i<=l;i=t+1) {
		t=l/(l/i); ll len=(t-i+1)%MOD;
		ans=(ans-len*(l/i)%MOD+MOD)%MOD; //這是 1~(l-1) 的
                //爲了防止模出負數，我們加上 MOD 再模
	} printf("%lld\n",(ans+MOD)%MOD);
	return 0;
}