形式语言与自动机 Part.6 图灵机

课程名：形式语言与自动机

作者：Lupinus_Linn

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引用：

• 本文中部分文字与图片引用自北京邮电大学计算机学院王柏教授的《形式语言与自动机》课程课件。
• 绪论中的证明方法部分引自清华大学王生原老师课件。
• 部分题目插图引用自北京邮电大学出版社《形式语言与自动机 第二版》教材。

在此一并表示感谢，并不做商业用途。

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Part.1绪论, Part.2 语言与文法
Part 3.有限自动机
Part.4 正则语言，2DFA，Mealy&Moore机
Part.5 上下文无关语言与下推自动机(PDA)
Part.6 图灵机

Part.6 图灵机

6.1 基础

• 性质：
  1. 每个过程都是有穷可描述的。
  2. 过程是离散可执行的。
• 基本模型：
  1. 一个读写头配一个右端无限的纸带。读写头有状态，这些状态属于有限状态集$Q$.有一个开始状态$q_0 ，q_0\in Q$，被接受的状态集合是$F,F\sube Q$.
  2. 纸带有单元格(cell)，单元格上书写带符(tape symbol)，这些带符属于有限带符号集$\Sigma$.有一个特殊带符空白符$B$.
  3. 读写头每次从纸带读取一个符号，这些符号属于有限输入符号集$T$.输入符号的种类可能比纸带的符号种类少（$T\sube \Sigma$），最起码空白符$B$在纸带上而不在输入符号集里（$B\in \Sigma-T$）。
  4. 图灵机可以根据状态和输入字符向左向右移动，并且在纸带上写字，这全由转移函数$\delta:Q\times \Sigma \to Q\times \Sigma \times \{L,R\}$决定。其含义是$\delta(当前状态，读入字符)=(下一个状态，写下的字符，向左向右移动)$
  5. 由于图灵机是上下文有关的，所以其格局为$\omega_1q\omega_2$，描述图灵机(Turning Machine, TM)的瞬间工作终态。$\omega_1\omega_2$是从左端到右端空白符号为止的内容。（因为右端无限长）。
     $\omega_1q\omega_2$表示读写头正在扫描$\omega_2$的最左字符。
     $\omega_2=\epsilon$表示读写头正在扫描空白字符。
     当读写头在最左边还要求向左时，拒绝移动，仍然停留在最左端。
  6. 图灵机是状态接受的。起初有一个字符串在纸带上，读写头指向最左单元，其实状态是$q_0$，只要能在工作过程中进入某个接受状态，则立即停机，认为接受。
  7. 无法判断图灵机$M$在接受某个串$\omega\in T^*$后是否停机，因为很容易可以写出死循环。停机问题是不可判定的。被接受的字符串一定会停机，不被接受的就不知道了。

6.2 图灵机设计实例

6.2.1 $L=\{a^nb^n\}$

• 思路：一一配对，从最左的a开始，每读取一个a置为无关字符x，然后到b串里读取最左一个b，再把b置为，在找最左的a，循环往复。凡是在配对中找不到另一个字符的，说明$a\lt b$或者$a\gt b$，就立即停机，不接受。

6.2.2 $L=\{0^n1^n2^n\}$

• 同理，消除一个0就把1和2置为无用字符。

6.2.3 整数函数计算

• 思路：转化为1进制，即把整数$i\ge 0$表示成$0^i$（$i$个0）。
• 如果一个函数有$k$自变量$i_1,i_2,\dots,i_k$，则开始时把整数挨个放置，并且中间用$1$隔开：$0^{i_1}10^{i_2}1\dots10^{i_k}$.
• 如果图灵机停止（不论状态是否接受），则带上的结果$0^m$为$f(i_1,i_2,\dots,i_k)=m$的计算结果。
• 所有常用的整数算数函数都是全递归。

6.2.4 真减法：$m\Theta n=(m>n)?m-n:0$

• 思路：用$0^m10^n$作为带子，每读一个$0^m$最左端的0就置为B，把$0^n$最左端的0置为1（不能置空，因为在11100B中，如果变成了BBBBB，就不知道是否用完了0）。让再回去找$0^m$的0.如果有在$0^n$找0遇到B，说明 $m\gt n$，则将所有非B的符号全部换成0，这些0有$0^{n-m}$个。