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ACM题目链接
https://vjudge.net/contest/353904#overview
0 1揹包问题
问题 :
| 有n件物品（每种物品都只有一件），w[i]表示物品的重量，v[i]表示物品的价值，现有一个容量为V的揹包，应该如何选物品使得书包内装的物品的value之和最大呢？ |
为方便讲解和理解，下面讲述的例子均先用具体的数字代入，即：eg：number＝4，capacity＝8
int w[5]={0,2,3,4,5};//商品体积
int v[5]={0,3,4,5,6};//商品价值
总体思路
根据动态规划解题步骤（问题抽象化、建立模型、寻找约束条件、判断是否满足最优性原理、找大问题与小问题的递推关系式、填表、寻找解组成）找出01揹包问题的最优解以及解组成，然后编写代码实现。
动态规划的原理
动态规划与分治法类似，都是把大问题拆分成小问题，通过寻找大问题与小问题的递推关系，解决一个个小问题，最终达到解决原问题的效果。但不同的是，分治法在子问题和子子问题等上被重复计算了很多次，而动态规划则具有记忆性，通过填写表把所有已经解决的子问题答案纪录下来，在新问题里需要用到的子问题可以直接提取，避免了重复计算，从而节约了时间，所以在问题满足最优性原理之后，用动态规划解决问题的核心就在于填表，表填写完毕，最优解也就找到。
最优性原理是动态规划的基础，最优性原理是指“多阶段决策过程的最优决策序列具有这样的性质：不论初始状态和初始决策如何，对于前面决策所造成的某一状态而言，其后各阶段的决策序列必须构成最优策略”。
揹包问题的解决过程
在解决问题之前，为描述方便，首先定义一些变量：Vi表示第 i 个物品的价值，Wi表示第 i 个物品的体积，定义V(i,j)：当前揹包容量 j，前 i 个物品最佳组合对应的价值，同时揹包问题抽象化（X1，X2，…，Xn，其中 Xi 取0或1，表示第 i 个物品选或不选）。
1、建立模型，即求max(V1X1+V2X2+…+VnXn)；
2、寻找约束条件，W1X1+W2X2+…+WnXn<capacity；
3、寻找递推关系式，面对当前商品有两种可能性：
包的容量比该商品体积小，装不下，此时的价值与前i-1个的价值是一样的，即V(i,j)=V(i-1,j)；
还有足够的容量可以装该商品，但装了也不一定达到当前最优价值，所以在装与不装之间选择最优的一个，即V(i,j)=max｛V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i)｝。
其中V(i-1,j)表示不装，V(i-1,j-w(i))+v(i) 表示装了第i个商品，揹包容量减少w(i)，但价值增加了v(i)；
由此可以得出递推关系式：
j<w(i) V(i,j)=V(i-1,j)
j>=w(i) V(i,j)=max｛V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i)｝
这里需要解释一下，为什么能装的情况下，需要这样求解（这才是本问题的关键所在！）：
可以这么理解，如果要到达V(i,j)这一个状态有几种方式？
肯定是两种，第一种是第i件商品没有装进去，第二种是第i件商品装进去了。没有装进去很好理解，就是V(i-1,j)；装进去了怎么理解呢？如果装进去第i件商品，那么装入之前是什么状态，肯定是V(i-1,j-w(i))。由于最优性原理（上文讲到），V(i-1,j-w(i))就是前面决策造成的一种状态，后面的决策就要构成最优策略。两种情况进行比较，得出最优。
4、填表，首先初始化边界条件，V(0,j)=V(i,0)=0；
然后一行一行的填表：
如，i=1，j=1，w(1)=2，v(1)=3，有j<w(1)，故V(1,1)=V(1-1,1)=0；
又如i=1，j=2，w(1)=2，v(1)=3，有j=w(1),故V(1,2)=max｛ V(1-1,2)，V(1-1,2-w(1))+v(1) ｝=max｛0，0+3｝=3；
如此下去，填到最后一个，i=4，j=8，w(4)=5，v(4)=6，有j>w(4)，故V(4,8)=max｛ V(4-1,8)，V(4-1,8-w(4))+v(4) ｝=max｛9，4+6｝=10……
所以填完表如下图：
5、表格填完，最优解即是V(number,capacity)=V(4,8)=10。
核心代码实现二维数组
for(int i=1;i<=4;i++)
{
//四个物品
for(int j=0;j<=bagV;j++)
{
if(j<w[i])//如果放不进去,dp[i][j]就等于i-1个物品的价值
dp[i][j]=dp[i-1][j];
else//如果可以放进入就要判断放进去好还是不放进去好(0 1揹包问题),取最大值
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);
}
}
一维数组实现
01揹包还可以用一维数组实现，只不过此时的递推式 & 初始条件就需要做些改变了。要想用一维数组存放所有状态，也就是让该数组某个时间是第 i-1 层的状态，而过一段时间之后则成为第 i 层的状态。如下面所演示的，初始状态下，一维数组 maxValue[ ]存放的是 i = 1 时的状态值（对应上面的F[ 1 ][ j ]，j = 0，1，2，…，W）
而当 i = 2 时，我们就需要计算 第二行的状态值，并把它们覆盖到maxValue[ ]一维数组之上。
问题是怎么覆盖呢？如果我们还是跟二维数组一样从前往后遍历数组，覆盖的过程中某一时刻如下图所示，其中数组前面部分是属于 i=2 层的状态值，后面部分属于 i=1 层的状态值。
但是，当我们继续计算并写入 i=2 的状态值时，很有可能用到 i=1 的某个状态值，而这个状态值却已经被覆盖掉了，比如，我们计算 i=2 的maxValue[ 6 ]时，要找到 i=1 的 maxValue[ 3 ] 状态值，本来它应该为0，但却变成4，如果我们用4去计算
maxValue[ 6 ]，就会得到错误的结果。
改写之后，原来maxValue[ W ]的值就由3变为4。接着，改写maxValue[ W-1 ]，由于计算 i=2 的maxValue[ W-1 ] 不需要用到 i=1 的maxValue[ W ]状态，所以，maxValue[ W ]的改动不影响maxValue[ W-1 ]的计算。
因此用一维数组实现必须是逆序
一维数组核心代码
for (int i=1; i<=n; i++)
{
for (int j=bagv; j>=w[i]; j--)
{
//TM可算是明白了为什么要逆序,dp[j]只与它本身有关(就是上一层揹包状态)还有前面某一个状态值有关
dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]] + v[i]);
}
代码实现二维数组
为了和之前的动态规划图可以进行对比，尽管只有4个商品，但是我们创建的数组元素由5个。
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
int w[5]={0,2,3,4,5};//商品体积
int v[5]={0,3,4,5,6};//商品价值
int bagV=8;//揹包大小
int dp[5][9];
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(int i=1;i<=4;i++)
{
//四个物品
for(int j=0;j<=bagV;j++)
{
if(j<w[i])//如果放不进去,dp[i][j]就等于i-1个物品的价值
dp[i][j]=dp[i-1][j];
else//如果可以放进入就要判断放进去好还是不放进去好(0 1揹包问题),取最大值
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);
}
}
for (int i = 0; i < 5; i++)
{
//查看数字dp
for (int j = 0; j <= bagV; j++)
printf("%d ", dp[i][j] );
printf("\n");
}
printf("%d\n", dp[4][8]);//输出最优值
return 0;
}
揹包问题最优解回溯
通过上面的方法可以求出揹包问题的最优解，但还不知道这个最优解由哪些商品组成，故要根据最优解回溯找出解的组成，根据填表的原理可以有如下的寻解方式：
V(i,j)=V(i-1,j)时，说明没有选择第i 个商品，则回到V(i-1,j)；
V(i,j)=V(i-1,j-w(i))+v(i)时，说明装了第i个商品，该商品是最优解组成的一部分，随后我们得回到装该商品之前，即回到V(i-1,j-w(i))；
一直遍历到i＝0结束为止，所有解的组成都会找到。
就拿上面的例子来说吧：
最优解为V(4,8)=10，而V(4,8)!=V(3,8)却有V(4,8)=V(3,8-w(4))+v(4)=V(3,3)+6=4+6=10，所以第4件商品被选中，并且回到V(3,8-w(4))=V(3,3)；
有V(3,3)=V(2,3)=4，所以第3件商品没被选择，回到V(2,3)；
而V(2,3)!=V(1,3)却有V(2,3)=V(1,3-w(2))+v(2)=V(1,0)+4=0+4=4，所以第2件商品被选中，并且回到V(1,3-w(2))=V(1,0)；
有V(1,0)=V(0,0)=0，所以第1件商品没被选择。
代码实现
揹包问题最终版详细代码实现如下：
#include<iostream>
using namespace std;
#include <algorithm>
int w[5] = { 0 , 2 , 3 , 4 , 5 }; //商品的体积2、3、4、5
int v[5] = { 0 , 3 , 4 , 5 , 6 }; //商品的价值3、4、5、6
int bagV = 8; //揹包大小
int dp[5][9] = { { 0 } }; //动态规划表
int item[5]; //最优解情况
void findMax() { //动态规划
for (int i = 1; i <= 4; i++) {
for (int j = 0; j <= bagV; j++) {
if (j < w[i])
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
else
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]);
}
}
}
void findWhat(int i, int j) { //最优解情况
if (i >= 0) {
if (dp[i][j] == dp[i - 1][j]) {
item[i] = 0;
findWhat(i - 1, j);
}
else if (j - w[i] >= 0 && dp[i][j] == dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]) {
//*******想想为什么是********else if(......)而不是else,那是因为max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i])不能确定那个大所以要判断一下是否dp[i][j] == dp[i - 1][j - w[i]] + v[i],从而判断选没选
item[i] = 1;
findWhat(i - 1, j - w[i]);
}
}
}
void print() {
for (int i = 0; i < 5; i++) { //动态规划表输出
for (int j = 0; j < 9; j++) {
cout << dp[i][j] << ' ';
}
cout << endl;
}
cout << endl;
for (int i = 0; i < 5; i++) //最优解输出
cout << item[i] << ' ';
cout << endl;
}
int main()
{
findMax();
findWhat(4, 8);
print();
return 0;
}
例题
题目链接
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2602
AC代码
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cstring>
#define ll long long int
#define maxn 1005
using namespace std;
int v[maxn],w[maxn],dp[maxn];
int main()
{
int t,n,V,i,j,ans;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
memset(dp,0,sizeof(dp));
scanf("%d %d",&n,&V);
for(i=0;i<n;i++)
scanf("%d",&v[i]);
for(i=0;i<n;i++)
scanf("%d",&w[i]);
for(i=0;i<n;i++)
for(j=V;j>=w[i];j--)
dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
printf("%d\n",dp[V]);
}
return 0;
}
快来练一练吧
ACM题目链接
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2670
下面介绍完全揹包问题,看下一篇文章
https://blog.csdn.net/weixin_43732535/article/details/104189808