伴隨矩陣及其運算

關鍵公式：

$|AB|=|A||B|$
#伴隨矩陣及其運算
$(1)$對於任意$n$階方陣$A$,都有伴隨矩陣$A^*$,且有
$AA^*=A^*A=|A|E,|A^*|=|A|^{n-1}$

按照定義：
$\begin{aligned}&A^{-1}=\dfrac{A^*}{|A|}\\ &所以 AA^*=A^*A=|A|E\\ &A^*=|A|A^{-1}\\ &|A^*|=\left||A|A^{-1}\right|\\ &=|A|^{n-1}\end{aligned}$

當$|A|\neq0$時，有
$\begin{aligned}&A^*=|A|A^{-1},A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A^*,A=|A|(A^*)^{-1}\\ &(kA)(kA)^*=|kA|E\\ &A^T(A^T)^*=|A^T|E\\ &A^{-1}(A^{-1})^*=|A^{-1}|E\\ &A^*(A^*)^*=|A^*|E\\ \end{aligned}$

$(2)$$(A^T)^*=(A^*)^T,(A^{-1})^*=(A^*)^{-1},(AB)^*=B^*A^*,(A^*)^*=|A|^{n-2}A$

---

對於$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\\end{pmatrix}$
$A^T=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{21}&\cdots&a_{n1}\\ a_{12}&a_{22}&\cdots&a_{n2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{1n}&a_{2n}&\cdots&a_{nn}\\\end{pmatrix}$

$A^*=|A|A^{-1},A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A^*,A=|A|(A^*)^{-1}$
這個不需要證明：

$(kA)(kA)^*=|kA|E$
這個顯然

$A^T(A^T)^*=|A^T|E$
這個顯然
$A^{-1}(A^{-1})^*=|A^{-1}|E$
這個顯然
$A^*(A^*)^*=|A^*|E$

這個顯然
這些都只需要驗證對應的矩陣是否可逆，
$|A^*|=\left||A|A^{-1}\right|=|A|^{n-1}\neq0$
$|A^T|=|A|\neq0$
$|A^{-1}|=|A|^{-1}\neq0$
$|kA|=k^n|A|\neq0$

$(A^T)^*=(A^*)^T$

對於$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\\end{pmatrix}$
$A^T=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{21}&\cdots&a_{n1}\\ a_{12}&a_{22}&\cdots&a_{n2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{1n}&a_{2n}&\cdots&a_{nn}\\\end{pmatrix}$
顯然

$(A^{-1})^*=(A^*)^{-1}$

$(A^*)^{-1}=(|A|A^{-1})^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A\\ (A^{-1})^*=|A^{-1}|(A^{-1})^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A=(A^*)^{-1}$

$(AB)^*=B^*A^*$

$(AB)^*=|AB|(AB)^{-1}=|A||B|B^{-1}A^{-1}\\ B^*A^*=|B|B^{-1}|A|A^{-1}$

$(A^*)^*=|A|^{n-2}A$

$A^*(A^*)^*=|A^*|E\\ (A^*)^*=|A^*|(A^*)^{-1}E\\ =|A|^{n-1}(|A|A^{-1})^{-1}\\ =|A|^{n-2}A$

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