关键公式:
∣AB∣=∣A∣∣B∣
#伴随矩阵及其运算
(1)对于任意n阶方阵A,都有伴随矩阵A∗,且有
AA∗=A∗A=∣A∣E,∣A∗∣=∣A∣n−1
按照定义:
A−1=∣A∣A∗所以AA∗=A∗A=∣A∣EA∗=∣A∣A−1∣A∗∣=∣∣∣A∣A−1∣∣=∣A∣n−1
当∣A∤=0时,有
A∗=∣A∣A−1,A−1=∣A∣1A∗,A=∣A∣(A∗)−1(kA)(kA)∗=∣kA∣EAT(AT)∗=∣AT∣EA−1(A−1)∗=∣A−1∣EA∗(A∗)∗=∣A∗∣E
(2)(AT)∗=(A∗)T,(A−1)∗=(A∗)−1,(AB)∗=B∗A∗,(A∗)∗=∣A∣n−2A
对于A=⎝⎜⎜⎜⎛a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann⎠⎟⎟⎟⎞
AT=⎝⎜⎜⎜⎛a11a12⋮a1na21a22⋮a2n⋯⋯⋱⋯an1an2⋮ann⎠⎟⎟⎟⎞
A∗=∣A∣A−1,A−1=∣A∣1A∗,A=∣A∣(A∗)−1
这个不需要证明:
(kA)(kA)∗=∣kA∣E
这个显然
AT(AT)∗=∣AT∣E
这个显然
A−1(A−1)∗=∣A−1∣E
这个显然
A∗(A∗)∗=∣A∗∣E
这个显然
这些都只需要验证对应的矩阵是否可逆,
∣A∗∣=∣∣∣A∣A−1∣∣=∣A∣n−1̸=0
∣AT∣=∣A∤=0
∣A−1∣=∣A∣−1̸=0
∣kA∣=kn∣A∤=0
(AT)∗=(A∗)T
对于A=⎝⎜⎜⎜⎛a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann⎠⎟⎟⎟⎞
AT=⎝⎜⎜⎜⎛a11a12⋮a1na21a22⋮a2n⋯⋯⋱⋯an1an2⋮ann⎠⎟⎟⎟⎞
显然
(A−1)∗=(A∗)−1
(A∗)−1=(∣A∣A−1)−1=∣A∣1A(A−1)∗=∣A−1∣(A−1)−1=∣A∣1A=(A∗)−1
(AB)∗=B∗A∗
(AB)∗=∣AB∣(AB)−1=∣A∣∣B∣B−1A−1B∗A∗=∣B∣B−1∣A∣A−1
(A∗)∗=∣A∣n−2A
A∗(A∗)∗=∣A∗∣E(A∗)∗=∣A∗∣(A∗)−1E=∣A∣n−1(∣A∣A−1)−1=∣A∣n−2A
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