高數易忘點(更新ing)

導數表：

原函數	導函數
$a^x$	$a^x\ln a$
$\log_ax$	$\frac{1}{x\ln a}$
$tanx$	$sec^2x$
$cotx$	$-csc^2x$
$secx$	$secxtanx$
$cscx$	$-cscxcotx$
$arcsinx$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$arccosx$	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$arctanx$	$\frac{1}{1+x^2}$
$arccotx$	$-\frac{1}{1+x^2}$

積分表：

1. $\int \frac{1}{x}{\rm d}x= \ln\mid x \mid +c$

2. $\int a^x{\rm d}x=\frac{a^x}{\ln a} +c$

3. $\int sec^2x{\rm d}x=tanx +c$

4. $\int csc^2x{\rm d}x=-cotx +c$

5. $\int secxtanx{\rm d}x=secx +c$

6. $\int cscxcotx{\rm d}x=-cscx +c$

7. $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}{\rm d}x=arcsin\frac{x}{a} +c$

8. $\int \frac{1}{a^2+x^2}{\rm d}x =\frac{1}{a} arctan \frac{x}{a}+c$

9. $\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}{\rm d}x=\ln \mid x+\sqrt{x^2-a^2} \mid+c$

10. $\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}{\rm d}x=\ln (x+\sqrt {x^2+a^2}) +c$

11. $\int \frac{1}{x^2-a^2}{\rm d}x=\frac{1}{2a}\ln \mid \frac{x-a}{x+a}\mid+c$

12. $\int \frac{1}{a^2-x^2}{\rm d}x=\frac{1}{2a}\ln \mid \frac{x+a}{x-a}\mid +c$

• $\frac{1}{\sqrt x}{\rm d}x$ = ${\rm d}2\sqrt x$
• $\frac{1}{x}{\rm d}x$ = ${\rm d}ln x$
• $\frac{1}{x^2}{\rm d}x$ = ${\rm d}-\frac{1}{x}$

三角函數表：

1）弧度與角度的轉換

$弧度=\frac{角度*\pi}{180}$

2）誘導公式

cos喫負號、tan喫pi

• $sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=cos\alpha$

• $cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)=-sin\alpha$

• $sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=cos\alpha$

• $cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=sin\alpha$

3）恆等變化

• $1 + tan^2x=sec^2x$

• $1+cot^2x=csc^2x$

• $cos2x=2cos^2x-1=1-2sin^2x=cos^2x-sin^2x$

• $cos^2x= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2x$

• $sin^2x=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2x$

4）反三角函數的圖像

1. $y=arcsinx$

2. $y=arccosx$

3. $y=arctanx$
   

兩個重要極限

• $\frac{\sin0}{0}=1$
• $(1+ \frac{1}{∞})^∞=(1+0)^{\frac{1}{0}}=e$

等價無窮小

(1) 當x->0，下面的式子等價於x

• $sinx$
• $arcsinx$
• $tanx$
• $arctanx$
• $\ln(1+x)$
• $e^x-1$

(2) 當x->0

• $1-cosx$、$\frac{1}{2}x^2$等價
• $(1+ax)^b-1$、$axb$等價
• $a^x-1$、$x\ln a$等價

均值不等式(夾逼準則可能用得到)

$ab \leq \frac{(a+b)^2}{4} \leq \frac{a^2+b^2}{2}$

第一類曲線積分

• 曲線L用直角座標方程表示：$\ ds= \sqrt{1+(y')^2}\ dx$
• 曲線L用極座標方程表示：$\ ds= \sqrt{\rho^2+(\rho')^2}\ d \theta$
• 曲線L用參數方程表示：$\ ds= \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\ dt$

常見的麥克勞林展開式