P2260 [清華集訓2012]模積和 題解

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簡要題意：

給定 $n,m$，求：

$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m (n \space \text{mod} \space i) \times (m \space \text{mod} \space j) , i \not = j$

$n,m \leq 10^9$.

我們直接奔着 $100$ 分的數據去吧，不要看部分分，部分分就沒意思。

這個式子的瓶頸在於 $n \space \text{mod} \space i$ 的展開問題。所以只需要用 $n \space \text{mod} \space i = n - \lfloor \frac{n}{i} \rfloor \times i$ ，然後靈活用多項式的拆開與合併，一波整除分塊帶走即可。

首先說好，這一次的推式子沒有 莫比烏斯反演，也沒有 奇怪的篩法，有的只是 多項式的靈活展開 與 整除分塊。

於是我們開始推式子。

$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m (n \space \text{mod} \space i) \times (m \space \text{mod} \space j) , i \not = j$

$= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m (n - \lfloor \frac{n}{i} \rfloor \times i) \times (m - \lfloor \frac{m}{j} \rfloor \times j) , i \not = j$

$= \sum_{i=1}^n (n - \lfloor \frac{n}{i} \rfloor \times i) \times \sum_{j=1}^m (m - \lfloor \frac{m}{j} \rfloor \times j) , i \not = j$

首先我們把 $i=j$ 的答案丟掉，先做所有的答案。

令 $f_n = \sum_{i=1}^n (n - \lfloor \frac{n}{i} \rfloor \times i)$，則 $\text{ans} = f_n \times f_m$，考慮如何快速求 $f$.

$f_n = \sum_{i=1}^n (n - \lfloor \frac{n}{i} \rfloor \times i)$

$= n^2 - \sum_{i=1}^n \Big( \lfloor \frac{n}{i} \rfloor \times i \Big)$

然後你會發現這東西直接 整除分塊，$\mathcal{O}( \sqrt{n})$ 很穩。

最後多餘的 $i=j$ 的答案應該會是：

$\sum_{i=1}^{\min(n,m)} (n \space \text{mod} \space i) \times (m \space \text{mod} \space i)$

$= \sum_{i=1}^{\min(n,m)} (n - \lfloor \frac{n}{i} \rfloor \times i) \times (m - \lfloor \frac{m}{i} \rfloor \times i)$

$= \sum_{i=1}^{\min(n,m)} \Big( nm - ni \lfloor \frac{m}{i} \rfloor - mi \lfloor \frac{n}{i} \rfloor + i^2 \lfloor \frac{n}{i} \rfloor \lfloor \frac{m}{i} \rfloor \Big)$

$= nm \cdot \min(n,m) - n \times \sum_{i=1}^{\min(n,m)} i \lfloor \frac{m}{i} \rfloor - m \times \sum_{i=1}^{\min(n,m)} i \lfloor \frac{n}{i} \rfloor + \sum_{i=1}^{\min(n,m)} i^2 \lfloor \frac{n}{i} \rfloor \lfloor \frac{m}{i} \rfloor$

令 $g_{n,k} = \sum_{i=1}^k i \lfloor \frac{n}{i} \rfloor$

則：

$= nm \cdot \min(n,m) - n \times g_{m,\min(n,m)} - m \times g_{n,\min(n,m)} + \sum_{i=1}^{\min(n,m)} i^2 \lfloor \frac{n}{i} \rfloor \lfloor \frac{m}{i} \rfloor$

顯然，$g$ 可以整除分塊，所以整個式子都可以整除分塊。

對於最後的一塊，我們令 $h_{n,m,k} = \sum_{i=1}^{k} i^2 \lfloor \frac{n}{i} \rfloor \lfloor \frac{m}{i} \rfloor$，但是注意到：

$\sum_{i=1}^{\min(n,m)} i^2 \lfloor \frac{n}{i} \rfloor \lfloor \frac{m}{i} \rfloor$ 的計算需要用到公式：

$\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n (n+1) (2n+1)}{6}$

但是模意義下的除法不好做。這裏有三種解決方法：

• 求出模意義下 $6$ 的逆元，可惜模數不是質數，我們只能用 $\text{exgcd}$ 去做。
• 由於 $n(n+1)$ 不會溢出，可以考慮 $n(n+1)/2 * (2n+1)/3$，但是最終的結果會爆 $\text{long long}$，因此這種方法不行。
• 直接開 $\text{\_\_int128}$ 解決所有問題。

當然本人爲了方便直接開了 $\text{\_\_int128}$，解決了所有的溢出計算問題。反正 $(10^9)^3 = 10^{27}$ 肯定不會超過 $2^{127}$，因爲 $2^{127}$ 大概有 $40$ 位。
上述方法已經說明，$f$ 和 $g$ 均可以在 $\mathcal{O}(\sqrt{n} + \sqrt{m} + \sqrt{\min(n,m)})$ 的時間內解決。$n$ ，$m$ 與 $\min(n,m)$ 均同級，所以最終時間複雜度爲 $\mathcal{O}(\sqrt{n})$.

時間複雜度：$\mathcal{O}(\sqrt n)$.

實際得分：$100pts$.

這個故事告訴我們，清華集訓的題並不難，在自己擅長的領域完全可以吊打集訓隊。（當然離那一天還很遙遠）

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef __int128 ll;
const ll MOD=19940417;

inline ll read(){char ch=getchar(); int f=1; while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	ll x=0; while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar(); return x*f;}

inline void write(ll x) {
	if(x<0) {putchar('-');write(-x);return;}
	if(x<10) {putchar(char(x%10+'0'));return;}
	write(x/10);putchar(char(x%10+'0'));
} //int128 需要快讀快輸
inline ll sum(ll n) {return n*(n+1)/2%MOD;} //一維和
inline ll pf(ll n) {return n*(n+1)*(2*n+1)/6%MOD;} //平方和
inline ll min(ll n,ll m) {return n<m?n:m;} //手動最小值
inline ll f(ll n) {
	ll ans=0;
	for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1) {
		r=n/(n/l);
		ans=(ans+(n/l)*(sum(r)-sum(l-1))%MOD)%MOD;
	} //printf("%lld\n",ans);
	return (n*n-ans)%MOD;
} //整除分塊計算 f

inline ll g(ll n,ll k) {
	ll ans=0;
	for(ll l=1,r;l<=k;l=r+1) {
		r=n/(n/l); r=min(r,k); //保證塊不超過 k
		ans=(ans+(n/l)*(sum(r)-sum(l-1))%MOD)%MOD;
	} return ans;
} //整除分塊計算 g

inline ll h(ll n,ll m,ll k) {
	ll ans=0;
	for(ll l=1,r;l<=k;l=r+1) {
		r=min(n/(n/l),m/(m/l)); r=min(r,k); //保證塊不超過 k
		ans=(ans+(n/l)*(m/l)%MOD*(pf(r)-pf(l-1))%MOD)%MOD;
	} return ans;
} //整除分塊計算 h

int main() {
	ll n=read(),m=read(),x=min(n,m);
	ll tot1=f(n)*f(m)%MOD; //原本答案
	ll tot2=(n*m*min(n,m)-n*g(m,x)-m*g(n,x)+h(n,m,x)+MOD+MOD)%MOD; //多餘答案
//	write(tot1),putchar(' '),write(tot2),putchar('\n');
	write((tot1-tot2+MOD)%MOD); //減法需要處理負數
	return 0;
}