矩陣不可約和導出圖強聯通關係

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矩陣可約指的是存在一個置換矩陣將行的位置進行置換，同時將矩陣列做一樣的變換可以讓原來的矩陣變成一個分塊上三角陣。等價的說，就是存在一個指標集劃分，將1到n劃分爲兩個不相交的集合$\mathcal{I},\mathcal{J}$，使得子矩陣$A[\mathcal{I},\mathcal{J}] = 0$
矩陣上第$i$行，第$j$列的元素非零表示節點$i$到$j$有一條有向邊。而矩陣可約就是說把圖分成兩部分，其中一部分到另一部分不可達。意義和證明就非常自然和明顯了

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關於不可約矩陣有以下結論：
可以證明$|A|^k$位置$(p,q)$非零當且僅當導出圖中$p$到$q$有長度爲$k$的路徑，而$(I+|A|)^k$位置$(p,q)$非零當且僅當導出圖中$p$到$q$有長度小於等於$k$的路徑。$n$個點的簡單路徑（沒有環）最多長度爲$n-1$

定理：$A\in M_{n}$是域上的矩陣，$M(A)$表示$A$的指標方陣（$M(A)$是一個零一矩陣，當$A$對應位置非零時，$M(A)$對應位置爲1，否則爲0），則以下幾個結論等價：
$(a)$$A$不可約
$(b)$ $(I + |A|)^{n-1} \succ 0$
$(c)$ $(I+M(A))^{n-1}\succ 0$
證明：下面證明(a)和(b)的等價性，$(c)$和$(b)$等價性顯然
我們要證它的否命題：$A$可約當且僅當$(I + |A|)^{n-1}$有零元素

$A可約 \Rightarrow (I + |A|)^{n-1}有零元素$
設$A$可約，且對某個置換矩陣$P$有$P^TAP=\begin{bmatrix} B &C\\ 0 &D\end{bmatrix} = \widetilde{A}$
其中$B\in M_r,D\in M_{n - r},1\le r \le n-1$
注意到$| \widetilde{A}|,| \widetilde{A}|^2,\cdots,| \widetilde{A}|^{n-1}$的左下角均有一個$(n-r)\times r$的零分塊，由此得到
$\begin{aligned} P^T (I+|A|)^{n-1}P &= (I+P^T|A| P)^{n-1}= (I+|P^TAP|)^{n-1}\\ &= (I+|\widetilde{A}|)^{n-1}\\ &=I+(n-1)|\widetilde{A}| + \begin{pmatrix} n-1\\2\end{pmatrix} |\widetilde{A}|^2 +\cdots +|\widetilde{A}|^{n-1} \end{aligned}$
其中求和項每一項左下角都有一個$(n-r)\times r$的零分塊，故$P^T (I+|A|)^{n-1}P$
也有一個零分塊，也就是含有零元素。

$A可約 \Leftarrow(I + |A|)^{n-1}有零元素有零元素$
設$(I + |A|)^{n-1}有零元素$在$(p,q)$位置爲0(顯然$p\ne q$). 那麼$F(A)$(導出圖的所有可達路徑)中就沒有點$P_p$到$P_q$的路徑（$P_p到P_q$不可達）
證明就是圖上最後不連通矩陣可約那部分