matlab6——數值微分和方程求解（一）數值微分和數值積分

數值微分

（1）數值差分與差商

可以用差商近似計算導數值：

（2）數值微分的實現

diff（） 向前差分函數

• dx=diff（x）：計算向量x的一階向前差分，dx[i]=x[i+1]-x[i],i=1,2,3…n-1.
• dx=diff（x,n）：計算向量x的n階向前差分。
• dx=diff（A，n,dim）：計算矩陣A的n階差分。dim=1時按列計算差分，=2時按行計算差分。

舉個例子

x=[0,sort(2*pi*rand(1,5000)),2*pi];
y=sin(x);
f1=diff(y)./diff(x)%利用差商來近似導數
f2=cos(x(1:end-1))%實際導數
plot(x(1:end-1),f1,x(1:end-1),f2,'r:')

兩者較接近

數值積分

原理

函數調用

• [l,n]=quad(filename,a,b,tol,trace)基於自適應辛普森方法
• [l,n]=quadl(filename,a,b,tol,trace)基於自適應GL方法(效率比較高)
  參數含義：
• I=integral（filename,a,b） 基於全局自適應積分方法。I是計算得到的積分。
• [I,err]=quadgk(filename,a,b) 基於自適應高斯—克朗羅得方法。err返回近似誤差。
• I=trapz（x，y）x自變量，y因變量。
  舉個例子
  

format long
f=@(x) 4./(1+x.^2);
[I,n]=quad(f,0,1,1e-8)
[I,n]=quadl(f,0,1,1e-8)
(atan(1)-atan(0))*4
結果
I =3.141592653733437
n =61
I =3.141592653589806
n =48
ans =3.141592653589793

f=@(x) 1./(x.*sqrt(1-log(x).^2));
I=integral(f,1,exp(1))
結果：
I =1.570796326795570

f=@(x) sin(1./x)./x.^2;
I=quadgk(f,2/pi,+Inf)
結果：
I = 1.000000000000000

x=1:6;
y=[6 8 11 7 5 2];
plot(x,y,'-ko');
grid on
axis([1 6 0 11]);
I1=trapz(x,y)
I2=sum(diff(x).*(y(1:end-1)+y(2:end))/2)
結果：
I1 =35
I2 =35

下圖是x—y圖像