一個小時複習線性代數：1線性代數——行列式

認識行列式

行列式在數學中，是一個函數，其定義域爲det的矩陣A，取值爲一個標量
二階行列式 $\begin{vmatrix}1&2\\2&3\end{vmatrix}$
三階行列式$\begin{vmatrix}1&2&3\\2&3&4\\4&5&7\end{vmatrix}$
四階行列式$\begin{vmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&5\\4&5&7&8\\8&9&10&12\end{vmatrix}$

行列式的計算

行列式的計算根據階數的不同有不一樣的計算方式
首先是二階行列的計算方式如下圖所示
$\begin{vmatrix}{\color{red}1}&{\color{blue}2}\\{\color{blue}2}&{\color{red}3}\end{vmatrix} = {\color{red}1}*{\color{red}3} - {\color{blue}2}* {\color{blue}2} =1$

看上去十分簡單，就是對象線的數相乘然後在相減就可以獲得行列式的值。
接下來是多階的行列式相乘

$\begin{vmatrix}\\1&2&3\\2&3&4\\4&5&7\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\\{\color{red}1}&2&3\\{\color{blue}0}&{\color{red}-1}&-2\\{\color{blue}0}&{\color{blue}0}&{\color{red}1}\end{vmatrix} ={\color{red}1}*({\color{red}-1})*{\color{red}1}=-1$

如上方所示，我們先將行列式轉換稱對角線的下方全爲0的行列式，然後對角線的乘積就是行列式的值。
如何轉換行列式呢，這就得用到了我們這裏提到的第一個行列式的性質。
性質:某行(列)加上或減去另一行(列)的幾倍，行列式不變

$\begin{vmatrix}\\1&2&3\\2&3&4\\4&5&7\end{vmatrix}\xlongequal{r_1 -2r_2}\begin{vmatrix}\\1&2&3\\2-2*1&3-2*2&4-2*3\\4&5&7\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\\1&2&3\\0&-1&-2\\4&5&7\end{vmatrix} \\ \xlongequal{r_3 -4r_1}\begin{vmatrix}\\1&2&3\\0&-1&-2\\4-4*1&5-4*2&7-4*3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\\1&2&3\\0&-1&-2\\0&-3&-5\end{vmatrix}\\ \xlongequal{r_3 -2r_2}\begin{vmatrix}\\1&2&3\\0&-1&-2\\0&-3-3*(-1)&-5-3*(-2)\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\\{\color{red}1}&2&3\\{\color{blue}0}&{\color{red}-1}&-2\\{\color{blue}0}&{\color{blue}0}&{\color{red}1}\end{vmatrix} ={\color{red}1}*({\color{red}-1})*{\color{red}1}=-1$
這裏很詳細了給出了轉換的步驟，總的來說就是，第一行主要是用來將每一行的第一列化成0的，而第二行是用來將第二列化爲0的，以此類推，根據步驟一步一步來即可將多階行列式求出結果。

行列式的性質

在上文我們介紹了行列式的一個性質，接下來介紹一些行列式常見的性質。
性質:某行(列)乘K，等於K乘此行列式

$\begin{vmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&5\\4&5&7&8\\8&9&10&12\end{vmatrix} = -1$

$\begin{vmatrix}{\color{red}2}&{\color{red}3}&{\color{red}6}&{\color{red}8}\\2&3&4&5\\4&5&7&8\\8&9&10&12\end{vmatrix} = 2 * \begin{vmatrix}{\color{red}1}&{\color{red}2}&{\color{red}3}&{\color{red}4}\\2&3&4&5\\4&5&7&8\\8&9&10&12\end{vmatrix} = 2*(-1) = -2$

性質:互換兩行(列)行列式變號
$\begin{vmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&5\\4&5&7&8\\8&9&10&12\end{vmatrix} = -1$

$\begin{vmatrix}2&3&4&5\\1&2&3&4\\4&5&7&8\\8&9&10&12\end{vmatrix} \xlongequal{r_1\leftrightarrow r_2}-1*\begin{vmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&5\\4&5&7&8\\8&9&10&12\end{vmatrix} =1$
性質:1⃣️兩行(列)相同或成比例時，行列式爲0
  2⃣️某行(列)爲兩項想加減時。行列式可以拆成兩個行列式想加減

$\begin{vmatrix}1&2&3&4 \\2&4&6&8\\4&5&7&8\\8&9&10&12\end{vmatrix}=0$

$\begin{vmatrix}1&2+a&3&4 \\2&4+b&6&8\\4&5+c&7&8\\8&9+d&10&12\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&2&3&4 \\2&4&6&8\\4&5&7&8\\8&9&10&12\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1&a&3&4 \\2&b&6&8\\4&c&7&8\\8&d&10&12\end{vmatrix}$

根據行列式來求方程組的解

方程組	$D\neq 0$	$D=0$
齊次	只有一組零解	有零解與非零解
非齊次	只有一組非零解	有多個解或無解

齊次方程
$\begin{cases} X_1+2X_2+3X_3 &= 0\\ 4X_1+5X_2+6X_3&=0\\ 7X_1+8X_2+9X_3 &=0 \end{cases}\longrightarrow\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}$

非齊次方程
$\begin{cases} X_1+2X_2+3X_3 &= 1\\ 4X_1+5X_2+6X_3&=2\\ 7X_1+8X_2+9X_3 &=3 \end{cases}\longrightarrow\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}$

餘子式，代數餘子式

$\begin{vmatrix}1&2&3\\5&6&7\\9&10&11\end{vmatrix}中的a_{23}的餘子式$

$餘子式M: M_{23} = \begin{vmatrix}1&2\\9&10\end{vmatrix}=-8$
$\begin{vmatrix}1&2\\9&10\end{vmatrix} 這個餘子式是根據M_{23}的下標，即2行3列，將原行列式中的2行3列給刪掉，\\剩下的就是代表餘子式的求值行列式了$

$代數餘子式A: A_{23} = (-1)^{2+3}*M_{23}=-1*(-8)=8$
如上方的公式表示，代數餘子式是根據餘子式來求出來的。
接下來看看餘子式和代數餘子式一般有什麼用處
性質
$D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}(第i行)$

$D=a_{1i}A_{1i}+a_{2i}A_{2i}+\cdots+a_{ni}A_{ni}(第i列)$

$\begin{aligned}\begin{vmatrix}1&2&3\\5&6&7\\9&10&11\end{vmatrix}&=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13} \\&=a_{11}(-1)^{1+1}M_{11}+a_{12}(-1)^{1+2}M_{12}+a_{13}(-1)^{1+3}M_{13}\\&=1*(-1)^{1+1}*\begin{vmatrix}6&7\\10&11\end{vmatrix}+2*(-1)^{1+2}*\begin{vmatrix}5&7\\9&11\end{vmatrix}+3*(-1)^{1+3}*\begin{vmatrix}5&6\\9&10\end{vmatrix} \end{aligned}$

性質:餘子式相加，可以將前面的係數代數原行列式進行計算

$D=\begin{vmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\\13&14&15&16\end{vmatrix}$

1. $3A_{11}+4A_{12}+5A_{13}+6A_{14} = \begin{vmatrix}3&4&5&6\\5&6&7&8\\9&10&11&12\\13&14&15&16\end{vmatrix}$
2. $3M_{11}+4M_{12}+5M_{31}+6M_{41}\longrightarrow 3A_{11}-4A_{21}+5A_{31}-6A_{41}$
   上方求餘子式相加的，現將餘子式轉化成代數餘子式然後再計算。