一、Lyapunov方程
1、連續Lyapunov方程
連續Lyapunov方程可以表示爲
Lyapunov方程來源與微分方程穩定性理論，其中要求C爲對稱正定的n×n方陣，從而可以證明解X亦爲n×n對稱矩陣，這類方程直接求解比較困難，不過有了Matlab中lyap()函數，就簡單多了。
>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 0]
C=-[10 5 4;5 6 7;4 7 9]
>> X=lyap(A,C)
2、Lyapunov方程的解析解
利用Kroncecker乘積的表示方法，可以將Lyapunov方程寫爲
可見，方程有唯一解的條件並不侷限於C對稱正定，只要滿足非奇異即可保證方程唯一解。同時也打破了傳統觀念，C必須對稱正定的。
function x=lyap2(A,C)
%Lyapunov方程的符號解法
n=size(C,1);
A0=kron(A,eye(n))+kron(eye(n),A);
c=C(:);
x0=-inv(A0)*c;
x=reshape(x0,n,n)
下面看一個示例，體會下符號解法：
>>A=[1 2 3;4 5 6;7 8 0];
>>C=-[10 5 4;5 6 7;4 7 9];
>>x=lyap2(sym(A),sym(C))
x =
[ -71/18, 35/9, 7/18]
[ 35/9, -25/9, 2/9]
[ 7/18, 2/9, -1/9]
3、離散Lyapunov方程
離散Lyapunov方程的一般形式爲：
Matlab中直接提供了dlyap()函數求解該方程：X=dlyap(A,Q)
其實，如果A矩陣非奇異，則等式兩邊同時右乘
得到：
就可以將其變換成連續的Sylvester方程：
其中 
，
。
而Sylvester方程是廣義Lyapunov方程，故離散的Lyapunov方程還可以使用下面的方法求解：
B=-inv(A’)
C=Q*inv(A’)
X=lyap(A,B,C)
下面總結下我們上面的講到的知識點：
X=lyap(A,C) 連續Lyapunov方程數值解法
X=lyap2(A,C) 連續Lyapunov方程符號解法
X=lyap(A,B,C) 廣義Lyapunov方程，即Sylvester方程
X=dlyap(A,Q)或者X=lyap(A,-inv(A’),Q*inv(A’)) 離散Lyapunov方程
二、Sylvester方程Matlab求解
Sylvester方程的一般形式爲
該方程又稱爲廣義的Lyapunov方程，式中A是n×n方陣，B是m×m方陣，X和C是n×m矩陣。Matlab控制工具箱提供了直接的求解該方程的lyap()函數：
A=[8 1 6;3 5 7;4 9 2]
B=[2 3;4 5]
C=[1 2;3 4;5 6]
X=lyap(A,B,C)
同理，我們使用Kronecker乘機的形式將原方程進行如下變化：
Lyapunov、Sylvester和Riccati方程的Matlab求解
故可以編寫Sylvester方程的解析解函數：
function X=lyap3(A,B,C)
%Sylvester方程的解析解法
%rewrited by dynamic
%more information
If nargin==2,C=B;B=A';end
[nr,nc]=size(C);
A0=kron(A,eye(nc))+kron(eye(nr),B');
try
C1=C';
X0=-inv(A0)*C1(:);
X=reshape(X0,nc,nr);
catch
error('Matlabsky提醒您：矩陣奇異！');
end
使用上面的數據，我們試驗下該解析解法
>>X=lyap3(sym(A),B,C)
X =
[ 2853/14186, 557/14186, -9119/14186]
[ 11441/56744, 8817/56744, -50879/56744]
三、Riccati方程的Matlab求解
Riccati方程是一類很著名的二次型矩陣形式，其一般形式爲
由於含有矩陣X的二次項，所有Riccati方程求解要Lyapunov方程更難，Matlab控制工具箱提供了are()函數，可以直接求解該函數：
A=[-2 1 -3;-1 0 -2;0 -1 -2]
B=[2 2 -2;-1 5 -2;-1 1 2]
C=[5 -4 4;1 0 4;1 -1 5]
X=are(A,B,C)