【线性 dp】B013_LC_不相交的线（LMS 变形）

一、Problem

我们在两条独立的水平线上按给定的顺序写下 A 和 B 中的整数。

现在，我们可以绘制一些连接两个数字 A[i] 和 B[j] 的直线，只要 A[i] == B[j]，且我们绘制的直线不与任何其他连线（非水平线）相交。

以这种方法绘制线条，并返回我们可以绘制的最大连线数。

输入：A = [1,4,2], B = [1,2,4]
输出：2
解释：
我们可以画出两条不交叉的线，如上图所示。
我们无法画出第三条不相交的直线，因为从 A[1]=4 到 B[2]=4 的直线将与从 A[2]=2 到 B[1]=2 的直线相交。

提示：

1 <= A.length <= 500
1 <= B.length <= 500
1 <= A[i], B[i] <= 2000

二、Solution

方法一：dp

因为这题本质是求 A、B 的最长公共子序列

• 定义状态：
  • $f[i][j]$ 表示 A 的前 $i$ 个位置和 B 的前 $j$ 个位置的最大连线数
• 思考初始化：
  • $f[0:][0:] = 0$
• 思考状态转移方程：
  • 如果 A[i] = B[j]，则有 $f[i][j] = f[i-1][j-1] + 1$
  • 如果 A[i] != B[j]，则有 $f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i][j-1])$
• 思考输出：$f[n][m]$

class Solution {
    public int maxUncrossedLines(int[] A, int[] B) {
        int n = A.length, m = B.length, f[][] = new int[n+1][m+1];

        for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            if (A[i] == B[j]) {
                f[i+1][j+1] = f[i][j] + 1;
            } else {
                f[i+1][j+1] = Math.max(f[i][j+1], f[i+1][j]);
            }
        }
        return f[n][m];
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n × m)$，
• 空间复杂度：$O(n × m)$，