1. 背景
前段时间复习完了高数第三章的内容,我参考《复习全书·基础篇》和老师讲课的内容对这一章的知识点进行了整理,形成了这篇笔记,方便在移动设备上进行访问和后续的补充修改。
2. 微分中值定理
2.1. 费马引理
设函数f(x)在点x0处可导,如果函数f(x)在点x0处取得极值,那么f(x0)=0.
2.2. 罗尔定理
如果f(x)满足以下条件
- 在闭区间[a,b]上连续
- 在开区间(a,b)内可导
- f(a)=f(b),
则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f(ξ)≡0.
图1 罗尔定理
2.3. 拉格朗日中值定理
如果f(x)满足以下条件
- 在闭区间[a,b]上连续
- 在开区间(a,b)内可导,
则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得
f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)(3.1)
图2 拉格朗日中值定理
已知函数在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,构造辅助函数
y=f(a)+b−af(b)−f(a)(x−a)
可得g(a)=g(b),又因为g(x)在[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,所以根据罗尔定理可得必有一点ξ∈(a,b),使得g′(ξ)=0,由此可得
g′(ξ)=f′(ξ)−(b−a)f(b)−f(a)=0
变形得
f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)
定理证毕。
2.4. 柯西中值定理
如果f(x),F(x)满足以下条件
- 在闭区间[a,b]上连续
- 在开区间(a,b)内可导,且F′(x)在(a,b)内每一点均不为零,则在(a,b)内至少存在一点ξ使得
F′(x)f′(ξ)=F(b)−F(a)f(b)−f(a)(3.2)
图3 柯西中值定理
要证明
F′(x)f′(ξ)=F(b)−F(a)f(b)−f(a)
可转换为证明
[f(b)−f(a)]F′(ξ)−[F(b)−F(a)]f′(ξ)=0
构造函数
φ(x)=[f(b)−f(a)][F(x)−F(a)]−[F(b)−F(a)][f(x)−f(a)]
φ(x)在[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且φ(a)=φ(b)=0,由罗尔定理可知,存在ξ∈(a,b),使得φ′(ξ)=0,由此可得
[f(b)−f(a)]F′(ξ)−[F(b)−F(a)]f′(ξ)=0
定理证毕。
2.5. 皮亚诺型余项泰勒公式
如果f(x)在点x0有至n阶的导数,则有
f(x)=n=0∑∞n!1f(n)(x0)(x−x0)n+o[(x−x0)n],x∈U(x0)(3.3)
常称R0=o(x−x0)n为皮亚诺余项,若x0=0,则得麦克劳林公式
f(x)=n=0∑∞n!1f(n)(0)xn+o(xn),x∈U(0)(3.4)
2.6. 拉格朗日型余项泰勒公式
设f(x)在点x0有至n+1阶的导数,则当x∈(a,b)时有
f(x)=n=0∑∞n!1f(n)(x0)(x−x0)n+Rn(x)(3.5)
其中Rn(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)(x−x0)n+1,这里ξ介于x0与x之间,称为拉格朗日余项。
2.7. 几个常用的泰勒公式(拉格朗日余项)
ex=1+x+2!x2+⋯+n!xn+(n+1)!eθxxn+1(3.6)
sin(x)=x−3!x3+⋯+(−1)n−1(2n)!x2n−1+(−1)n(2n+1)!cos(θx)x2n+1(3.7)
cos(x)=1−2!x2+⋯+(−1)n(2n)!x2n++(−1)n(2n+2)!cos(θx)x2n+2(3.8)
ln(1+x)=x−2x2+⋯+(−1)n−1nxn+(−1)n(n+1)(1+θx)n+1x(n+1)(3.9)
(1+x)α=1+αx+2!α(α−1)x2+⋯+n![α!/(α−n)!]xn+(n+1)![α!/(α−n−1)!](1+θx)α−n−1xn+1(3.10)
2.8. 不等式的证明
sin(x)<x<tan(x),x∈(0,2π)(3.11)
1+xx<ln(1+x)<x,x∈(0,+∞)(3.12)
- 单调性
要证明不等式f(x)≥g(x),在x∈[a,b]区间恒成立,可转换为
F(x)=f(x)−g(x)≥0(3.13)
即证明在[a,b]区间内
F′(x)>0,F(a)≤0(3.14)
可总结为通过证明构造出的函数F(x)在闭区间内单调
,且在端点值满足条件,从而证明不等式。
- 拉格朗日中值定理
要证明不等式
1+xx<ln(1+x)<x,(x>0)
步骤如下:
令f(x)=ln(x),f(x)满足在[1,1+x]上连续,在(1,1+x)内可导,则在(1,1+x)内至少存在一点ξ,使得
ln(1+x)=ln(1+x)−ln(1)=(1+x−1)f′(ξ)=ξx
又因为1<ξ<(1+x),带入端点值则不等式得证。可总结为通过使用拉格朗日中值定理构造的函数
(b−a)f′(a)≤(b−a)f′(ξ)=f(b)−f(a)≤(b−a)f′(b)
在端点值满足条件,从而证明不等式。
- 最大最小值
要证明不等式f(x)≥g(x),在x∈[a,b]区间恒成立,可转换为
F(x)=f(x)−g(x)≥0
即证明在[a,b]区间内有一点x0满足
F′(x0)=0,x→−x0limf(x)⋅x→+x0limf(x)<0
即x0点为[a,b]区间内的极值点,并证明x0点的值小于其他极小值点和端点值,即x0点为最小值点。同时
f(x0)≥0
则不等式得证。可总结为通过证明最值点满足条件
,从而证明不等式。
3. 导数应用
3.1. 函数的单调性
定理 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导。
- 若在(a,b)内f′(x)>0,则f(x)在[a,b]上单调递增
- 若在(a,b)内f′(x)<0,则f(x)在[a,b]上单调递减
3.2. 函数的极值
3.3. 函数的最大值和最小值
3.4. 曲线的凹凸性
定义 设函数f(x) 在区间 I 上连续,如果对 I 上任意两点 x1,x2,恒有
f(2x1+x2)<2f(x1)+f(x2)
则称f(x) 在I 上的图形是凹的。如果恒有
f(2x1+x2)>2f(x1)+f(x2)
则称f(x) 在I 上的图形是凸的。
3.5. 曲线的渐近线
3.5.1. 渐近线的定义
- 渐近线
- 若点M沿曲线y=f(x)无限远离原点时,它与某条直线L之间的距离将趋近于零,则称直线L为曲线y=f(x)的一条渐近线。
- 水平渐近线
- 若直线L于x轴平行,则称L为曲线y=f(x)的水平渐近线;
- 垂直渐近线
- 若直线L于x轴垂直,则称L为曲线y=f(x)的垂直渐近线;
- 斜渐近线
- 若曲线即不平行于x轴,也不垂直于y轴,则称直线L为曲线y=f(x)的斜渐近线。
3.5.2. 渐近线的求解
- 水平渐近线
- 若x→∞limf(x)=A,那么y=A是曲线y=f(x)的水平渐近线
- 或x→−∞limf(x)=A.
- 或x→+∞limf(x)=A.
- 最多两条
- 垂直渐近线
- 若x→x0slimf(x)=∞,那么x=x0是曲线y=f(x)的水平渐近线
- 或x→−x0limf(x)=A.
- 或x→+x0limf(x)=A.
- 最多无穷条
- 斜渐近线
- 若x→x0slimxf(x)=a,且x→∞lim(f(x)−ax)=b,那么x=x0是曲线y=f(x)的水平渐近线
- 或x→−∞lim(f(x)−ax)=b.
- 或x→+∞lim(f(x)−ax)=b.
- 最多两条,某方向若有水平渐近线,则无斜渐近线,若有斜渐近线,则无水平渐近线。
- 若一个曲线方程可以写为y=ax+b+α(x),其中α(x)在x→∞时为无穷小,则有斜渐近线y=ax+b.
3.6. 函数的作图
利用函数的单调性、极值、曲线的凹凸性、拐点及渐近线可以作出函数曲线。
- 求定义域,判断是否有无定义点
- 求y′,判断单调性和极值
- 求y′′,判断曲线的凹凸性
- 求极限,判断渐近线
- 作图
3.7. 曲线的弧微分与曲率
- 弧微分
- 定义:设y=f(x)在(a,b)内有连续导数,则有弧微分
ds=1+(y′)2dx(3.15)
- 曲率
- 定义:设y=f(x)有二阶导数,则有曲率
K=(1+(y′)2)3/2∣y′′∣(3.16)
-
曲率半径
- 定义:称ρ=K1为曲率半径
-
曲率圆
- 定义:若曲线y=f(x)在点M(x,y)处的曲率为K(K=0),在这点M处曲线的法线上,在曲线凹的一侧取一点D,使∣DM∣=K1=ρ,以D为圆心,ρ为半径的圆成为曲线在点M的曲率圆。
-
曲率中心
- 定义:曲率圆的圆心D,称为曲线在点M处的曲率中心。
4. 总结
-
微分中值定理
- 罗尔定理
- 拉格朗日中值定理
- 柯西中值定理
- 泰勒公式
-
导数应用
- 函数的单调性
- 函数的极值、最值
- 曲线的凹凸性和渐近线
- 弧微分与曲率