參考資料：中國大學MOOC 山東大學 秦靜教授講解
一、幾種特殊的矩陣
只有方陣纔有主對角線
二、矩陣的運算
三、方陣的行列式
四、伴隨矩陣
注意，上面寫伴隨矩陣時代數餘子式的順序，例如A21,寫在了第一行第二列，而不是第二行第一列。
對於上述的二階矩陣，主對角線元素交換，副對角線元素添加負號。
再來看下面的這幾個練習，就一眼看出答案了：
上述說明：第j行的元素與第i行元素的餘子式乘積之和等於0.
上述結果怎麼證明呢？之前在將行列式的時候已經證明過了，現在再回顧一下：
它的證明過程中利用了行列式的一個性質：若行列式中的兩行完全相同，則行列式的值爲0
上面的證明如果實在理解不了，就記住結論先。
五、初等變換
記住，上述的初等變換後，矩陣不再和之前的相等了，而是等價。
看下面的矩陣的秩。
六、矩陣的秩
上面的iv經常用得到。
上面的方法求秩比較麻煩。
上面的比較簡單，所以沒有用初等變換了。
注意，上面的矩陣是方陣。
上述常用的結論：矩陣A滿秩，則A的標準形爲同階單位陣E
下面是簡要的證明：
七、初等矩陣
初等矩陣要點：單位陣、一次變換
P1：r3-r1
P2：交換r2和r3
P3：r3-r1
證明上述結論：A是滿秩的，A就可以寫成一系列初等矩陣的乘積。
E是A的同階單位陣
A是滿秩的，所以A和單位矩陣等價（通俗來講就是A可以化爲單位矩陣）。
A=P1 P2…P(i) E P(i+1) … P(n) 其中P(n)全部爲單位矩陣。（這個是化爲單位矩陣需要左乘或右乘的過程）
所以：A=P1 P2…P(i) P(i+1) … P(n)
如果A可以由一系列初等矩陣的乘積表示，A是滿秩的。證明：
A=P1 P2…P(i) P(i+1) … P(n)
A=P1 P2…P(i) P(i+1) … P(n) E
所以A和單位陣E等價（A通過初等變化化爲B，則A和B等價），所以A是滿秩的。
下面的圖和上述證明是一樣的：
上面的四個結論會經常用到。
推論2的證明：
矩陣A化成矩陣B，左乘初等矩陣P1P2Ps,右乘初等矩陣Q1Q2Qt，將左乘的初等矩陣爲Pm,右乘的一系列初等矩陣的值爲Qn，由於初等矩陣的結果是滿秩的，所以Pm和Qn是滿秩矩陣。
對矩陣做初等變換，不會改變矩陣的秩，所以R(A)=R(PA)=R(PAQ)=R(AQ)
上面的結論也很常用
八、逆矩陣
AA(-1) =E,將上面的E用左邊的式子代入。
九、逆矩陣的性質與求解
上面說明：
對A進行行變換的同時，對E進行行變換。當A的行變換變成E時，那麼，同時對E的行變換就變成了A的逆。所以構造了(A:E)這樣的行列式，同時進行變換。當A變換成E時，那麼對E進行的行變換就變成了A的逆。
可能我說的不太明白，上述不太容易理解。
十、分塊矩陣
十一、矩陣方程
感嘆：前面章節的知識理解了，再看這些，真的很簡單呀！
十二、習題課
