數學建模之層次分析法

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層次分析法，數學建模中最簡單且較爲常用的方法，主要用於解決最優選擇方案問題。

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1. 評價的目標是什麼？
評價的目標一般都是題目所要求的

例如：小明要去桂林、西藏、杭州三地旅遊，請爲他選擇去哪地旅遊最好。那麼選擇去哪裏旅遊即爲評價的目標

2. 到達目標有哪幾種選擇方案？
在該題中，明顯有三種，1.桂林 2.西藏 3.杭州

3. 評價的指標是什麼？
一般我們可以通過查閱相關文獻或者頭腦風暴，根據這些指標對對象進行相應的打分

首先我們可以生成一個如下的表來計算各項指標的加權值進而計算出最優方案。

	指標權重	方案1	方案2	方案3
指標1
指標2
指標3

這張表中的指標權重不好獲取，針對不同的人，指標權重是不一樣的，我們可以對他進行問卷調查，讓他填一下哪一個指標比較重要，哪一個不重要，當指標較少時可以直接比較，但是指標較多時用戶往往難以抉擇。因此我們可以通過兩兩比較指標的方法獲取指標的權重，這也就是層次分析法
我們可以生成一個如下表：

	指標1	指標2	指標3
指標1	1	2	3
指標2	1/2	1	4
指標3	1/3	1/4	1

這個矩陣稱之爲“判斷矩陣”
通過上面的矩陣我們可以計算出各個指標權重，其中a_ij越大代表指標a_i指標相對於a_j越重要
例如：我們針對旅遊景點查到到是三個影響指標爲：花費、美食、交通

	花費	美食	交通
花費	1	2	3
美食	1/2	1	4
交通	1/3	1/4	1

表中對角線元素均爲1，代表指標與其自身相比同等重要，a₁₂=2，代表花費相對於美食更看重花費。
接下來依據各個指標計算各個方案的判斷矩陣

指標1	方案1	方案2	方案3
方案1	1
方案2		1
方案3			1

花費	桂林	西藏	杭州
桂林	1	1/3	5
西藏	3	1	4
杭州	1/5	1/4	1

上面代表的意思是，在花費方面，桂林相比於西藏可能會比去西藏花費的多，相比於杭州可能杭州花費的更多

但是需要注意的是有可能會出現不一致的問題：

交通	桂林	西藏	杭州
桂林	1	2	1
西藏	1/2	1	4
杭州	1	1/2	1

該判斷矩陣認爲：在交通方面 1.去桂林和去杭州一樣方便 2.去桂林比去西藏方便 3.去西藏比去杭州方便 綜合三點可以明顯看出：不符合邏輯了！
因此我們要判斷一致性。
一致矩陣應當滿足一下關係：各行或各列應當成倍數關係。

因此，在我們使用判斷矩陣求權重之前一定要對矩陣進行一致性檢驗
判斷三個條件：

1. a_ij>0(矩陣所有元素均大於0)
2. a₁₁=a₂₂=a₃₃=a_nn=1（主對角線元素爲1）
3. [a_i1,a_i2,…a_in]=k_i[a₁₁,a₁₂,…a_1n]（各行或各列成倍數關係）

那麼應當如何判斷呢？
這裏我們需要計算一致性指標CI,CI=($\lambda$_max-n)/(n-1)
一致性比例CR，CR=CI/RI,其中RI可以通過查表得知
如果計算的CR<0.1,則認爲這個判斷矩陣可以接受，然後計算權重

然後我們可能想知道，如何根據判斷矩陣來計算權重呢？

1. 算數平均法：
   將判斷矩陣按照列歸一化（每一個元素除以其所在列的和）

2. 將歸一化的各列相加（按行求和）

3. 將相加後得到的向量除以n得到權重向量